Билет 3. 1. Измерение и сравнение отрезков, середина отрезка. Длина отрезка. Сравнение отрезков. 2. В равностороннем треугольнике АВС медианы ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите ∠AOK. 3. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°. 4. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Сумма углов любого треугольника равна 180°. 3) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

Билет 3

1. Отрезки

Длина отрезка — это расстояние между его концами, измеряемое в определённых единицах (сантиметрах, метрах и т.д.).

Сравнение отрезков выполняется путём сравнения их длин. Отрезок, имеющий большую длину, считается большим.

Середина отрезка — это точка, которая делит отрезок на два равных отрезка.

2. Равносторонний треугольник

Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний. \( BK \) и \( AM \) — медианы, пересекаются в точке \( O \).

Найти: \( \angle AOK \).

Решение:

1. В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами.
2. Медианы \( BK \) и \( AM \) пересекаются в точке \( O \), которая является центром треугольника.
3. \( BK \) — медиана, следовательно, \( K \) — середина \( AC \). \( BK \) также является высотой, поэтому \( BK \perp AC \).
4. \( AM \) — медиана, следовательно, \( M \) — середина \( BC \). \( AM \) также является высотой, поэтому \( AM \perp BC \).
5. \( \angle AOK \) — это угол между стороной \( AC \) и медианой (высотой) \( AM \).
6. В равностороннем \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = \angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ} \).
7. Так как \( AM \) — высота, то \( \angle AMC = 90^{\circ} \).
8. В \( \triangle AOK \): \( \angle OAK = \angle BAC = 60^{\circ} \). \( \angle AKO = 90^{\circ} \) (так как \( BK \perp AC \)).
9. Сумма углов \( \triangle AOK \) равна \( 180^{\circ} \): \( \angle AOK + \angle OAK + \angle AKO = 180^{\circ} \).
10. \( \angle AOK + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
11. \( \angle AOK = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).

Ответ: 30

3. Равнобедренный треугольник, высоты

Дано: \( \triangle ABC \) — остроугольный равнобедренный. \( BM \perp AB \), \( CM \perp AC \). \( \angle BMC = 140^{\circ} \).

Найти: Углы \( \triangle ABC \).

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник \( ABMC \). Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).
2. \( \angle ABM = 90^{\circ} \) и \( \angle ACM = 90^{\circ} \) (по условию, \( BM \) и \( CM \) — высоты).
3. \( \angle BAC + \angle ABM + \angle BMC + \angle ACM = 360^{\circ} \).
4. \( \angle BAC + 90^{\circ} + 140^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).
5. \( \angle BAC + 320^{\circ} = 360^{\circ} \).
6. \( \angle BAC = 40^{\circ} \).
7. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AB = AC \). Углы при основании равны: \( \angle ABC = \angle ACB \).
8. \( \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ} \).
9. \( 2 \angle ABC + 40^{\circ} = 180^{\circ} \).
10. \( 2 \angle ABC = 140^{\circ} \).
11. \( \angle ABC = 70^{\circ} \).
12. \( \angle ACB = 70^{\circ} \).

Ответ: 40°, 70°, 70°

4. Верные утверждения

Верные утверждения:

• 2) Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Неверные утверждения:

• 1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Неверно. Необходим третий признак равенства — третья сторона или угол между этими сторонами).
• 3) Любые три прямые имеют не более одной общей точки. (Неверно. Три прямые могут пересекаться в одной точке, но также могут пересекаться в двух или трех точках, или не иметь общих точек вообще).

Ответ: 2