Билет 1. 1. Луч и угол (определение). Какой луч называется биссектрисой угла? Сделайте рисунок. 2. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 216, НС = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах. 3. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 28°. Ответ дайте в градусах. 4. Какие из следующих утверждений верны? 1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. 2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 3) Сумма углов любого треугольника равна 90°.

Билет 1

1. Луч и угол

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины угла).

Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Рисунок:

2. Задача про медиану и высоту

Дано: \( \triangle ABC \), \( BM \) — медиана, \( BH \) — высота. \( AC = 216 \), \( HC = 54 \), \( \angle ACB = 40^{\circ} \).

Найти: \( \angle AMB \).

Решение:

1. В \( \triangle BHC \) \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( \angle HBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
2. \( BM \) — медиана, значит, \( M \) — середина \( AC \). \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{216}{2} = 108 \).
3. \( MH = MC - HC = 108 - 54 = 54 \).
4. В \( \triangle BHM \) \( \angle BHM = 90^{\circ} \). \( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} \). Чтобы найти \( BH \), рассмотрим \( \triangle BHC \): \( BH = HC \cdot \tan(40^{\circ}) = 54 \tan(40^{\circ}) \).
5. \( \tan(\angle AMB) = \frac{54 \tan(40^{\circ})}{54} = \tan(40^{\circ}) \).
6. Следовательно, \( \angle AMB = 40^{\circ} \).

Ответ: 40

3. Биссектриса внешнего угла

Дано: \( \triangle ABC \), \( BD \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( B \), \( BD \parallel AC \). \( \angle ABC = 28^{\circ} \).

Найти: \( \angle CAB \).

Решение:

1. Так как \( BD \parallel AC \), то \( \angle DBC = \angle ACB \) (как накрест лежащие углы при параллельных \( BD \) и \( AC \) и секущей \( BC \)).
2. \( \angle ABD = \angle BAC \) (как накрест лежащие углы при параллельных \( BD \) и \( AC \) и секущей \( AB \)).
3. \( \angle ABC = 28^{\circ} \).
4. \( BD \) — биссектриса внешнего угла, поэтому \( \angle CBD = \angle DBA \).
5. Из \( \angle DBC = \angle ACB \) и \( \angle ABD = \angle BAC \) и \( \angle CBD = \angle DBA \) следует, что \( \angle ACB = \angle BAC \).
6. Сумма углов \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \): \( \angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
7. Заменим \( \angle ACB \) на \( \angle CAB \) и \( \angle ABC \) на \( 28^{\circ} \): \( \angle CAB + 28^{\circ} + \angle CAB = 180^{\circ} \).
8. \( 2 \angle CAB = 180^{\circ} - 28^{\circ} = 152^{\circ} \).
9. \( \angle CAB = \frac{152^{\circ}}{2} = 76^{\circ} \).

Ответ: 76

4. Верные утверждения

Верные утверждения:

• 2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. (Это аксиома параллельных прямых Евклида).

Неверные утверждения:

• 1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. (По неравенству треугольника: 1 + 2 = 3 < 4, поэтому такой треугольник не существует. Утверждение верно, но в вопросе спрашивается, какие утверждения верны.)
• 3) Сумма углов любого треугольника равна 90°. (Сумма углов треугольника равна 180°).

Ответ: 2