Билет 2. 1. Основные геометрические фигуры на плоскости. Отрезок (определение). Сделайте рисунок. 2. Прямые т и п параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах. 3. На сторонах угла ВАС, равного 20°, и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Определите величину угла BDC. 4. Какое из следующих утверждений верно? 1) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. 3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

Билет 2

1. Основные геометрические фигуры на плоскости. Отрезок

Основные геометрические фигуры на плоскости: точка, прямая, луч, отрезок, угол, ломаная, многоугольники (треугольник, четырёхугольник и т.д.).

Отрезок — это часть прямой, которая имеет две конечные точки.

Рисунок:

2. Параллельные прямые

Дано: прямые \( m \parallel n \), \( \angle 1 = 22^{\circ} \), \( \angle 2 = 72^{\circ} \).

Найти: \( \angle 3 \).

Решение:

1. Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 22^{\circ} = 158^{\circ} \).
2. Рассмотрим секущую, пересекающую \( m \) и \( n \). Угол \( \angle 2 = 72^{\circ} \) и угол, соответствующий \( \angle 1 \) (который равен \( 22^{\circ} \)), являются односторонними углами. Их сумма должна быть \( 180^{\circ} \) если бы они были односторонними.
3. Угол, накрест лежащий с \( \angle 1 \), равен \( 22^{\circ} \).
4. Угол \( \angle 2 = 72^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 2 \), равен \( 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).
5. Угол \( \angle 3 \) и угол \( \angle 2 \) являются накрест лежащими углами при секущей и параллельных прямых \( m \) и \( n \). Следовательно, \( \angle 3 = \angle 2 = 72^{\circ} \).
6. *Другой подход:* Угол, накрест лежащий с \( \angle 1 \), равен \( 22^{\circ} \). Угол \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) находятся на одной прямой. Угол \( \angle 3 \) и накрест лежащий угол к \( \angle 1 \) (равный \( 22^{\circ} \)) являются смежными.
7. *Правильное решение:* Угол \( \angle 1 \) и внутренний накрест лежащий угол с \( \angle 3 \) равны \( 22^{\circ} \). Угол \( \angle 2 = 72^{\circ} \). Пусть \( \alpha \) — угол между прямой \( n \) и секущей, который является смежным с \( \angle 3 \). Тогда \( \alpha = 180^{\circ} - \angle 3 \). Угол \( \angle 2 \) и \( \alpha \) не связаны напрямую.
8. *Смотрим на рисунок:* Угол \( 1 \) и угол, смежный с \( 3 \), являются накрест лежащими. \( 180^{\circ} - \angle 3 = \angle 1 = 22^{\circ} \). \( \angle 3 = 180^{\circ} - 22^{\circ} = 158^{\circ} \). Это неверно.
9. *Пересмотрим:* Угол \( 1 \) и соответствующий угол с \( 3 \) равны. Соответствующий угол к \( 3 \) равен \( 180^{\circ} - \angle 3 \). \( 180^{\circ} - \angle 3 = 22^{\circ} \), \( \angle 3 = 158^{\circ} \).
10. *Другой способ:* Нарисуем вспомогательную прямую через вершину угла 3.
11. *Правильное решение:* Пусть \( \alpha \) — угол, накрест лежащий с \( \angle 1 \), тогда \( \alpha = 22^{\circ} \). Угол \( \angle 2 \) и \( \alpha \) являются смежными углами. \( \angle 2 + \alpha = \angle 3 \). \( \angle 3 = 72^{\circ} + 22^{\circ} = 94^{\circ} \). (Это если \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) относятся к одной секущей).
12. *Если \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие:* \( \angle 3 = \angle 2 = 72^{\circ} \). Но \( \angle 1 \) должен быть как-то связан.
13. *Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие:* \( 22^{\circ} = 72^{\circ} \) - неверно.
14. *Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние:* \( 22^{\circ} + 72^{\circ} = 94^{\circ} \), не \( 180^{\circ} \).
15. *Рассмотрим рисунок:* Угол 1 и внутренний накрест лежащий угол (назовем его 4) равны. \( \angle 4 = 22^{\circ} \). Угол 2 и угол 3 являются смежными. \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \). \( 72^{\circ} + \angle 3 = 180^{\circ} \). \( \angle 3 = 108^{\circ} \). Но это не учитывает \( \angle 1 \).
16. *Верный подход:* Проведем через вершину угла \( 3 \) прямую \( k \), параллельную \( m \) и \( n \). Тогда угол \( 1 \) и часть угла \( 3 \) (назовем ее \( \angle 3_1 \)) будут накрест лежащими, то есть \( \angle 3_1 = 22^{\circ} \). Угол \( 2 \) и оставшаяся часть угла \( 3 \) (назовем ее \( \angle 3_2 \)) будут накрест лежащими, то есть \( \angle 3_2 = 72^{\circ} \). Тогда \( \angle 3 = \angle 3_1 + \angle 3_2 = 22^{\circ} + 72^{\circ} = 94^{\circ} \).

Ответ: 94

3. Равные отрезки на сторонах угла

Дано: \( \angle BAC = 20^{\circ} \). \( AB = AC = AD \). \( D \) лежит на биссектрисе \( \angle BAC \).

Найти: \( \angle BDC \).

Решение:

1. Так как \( AB = AC \), \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
2. \( AD \) — биссектриса \( \angle BAC \).
3. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и \( AD \) — биссектриса \( \angle BAC \), то \( AD \) также является медианой и высотой к основанию \( BC \).
4. \( D \) лежит на биссектрисе, и \( AB = AC = AD \).
5. \( \triangle ABD \) — равнобедренный, так как \( AB = AD \). \( \angle ABD = \angle ADB \).
6. \( \triangle ACD \) — равнобедренный, так как \( AC = AD \). \( \angle ACD = \angle ADC \).
7. \( \angle BAC = 20^{\circ} \). \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - 20^{\circ}}{2} = 80^{\circ} \).
8. \( \angle ABD = \angle ABC = 80^{\circ} \).
9. В \( \triangle ABD \), \( \angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ} \).
10. \( \angle ADB = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 10^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
11. \( \angle BDC = \angle ADB + \angle ADC \).
12. В \( \triangle ACD \), \( \angle CAD = 10^{\circ} \). \( \angle ACD = 80^{\circ} \). \( \angle ADC = 180^{\circ} - (10^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
13. \( \angle BDC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \). Это невозможно, так как \( B, D, C \) лежат на одной прямой.
14. *Исправим:* \( D \) лежит на биссектрисе \( \angle BAC \). \( AB = AC \). \( AD \) — биссектриса \( \angle BAC \), значит, \( AD \) является осью симметрии для \( \angle BAC \).
15. \( AB = AC = AD \). \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACD \) — равнобедренные.
16. \( \angle BAD = \angle CAD = 10^{\circ} \).
17. В \( \triangle ABD \): \( \angle ABD = \angle ADB = \frac{180^{\circ} - 10^{\circ}}{2} = 85^{\circ} \).
18. В \( \triangle ACD \): \( \angle ACD = \angle ADC = \frac{180^{\circ} - 10^{\circ}}{2} = 85^{\circ} \).
19. \( \angle BDC = \angle ADB + \angle ADC = 85^{\circ} + 85^{\circ} = 170^{\circ} \).

Ответ: 170

4. Верное утверждение

Верное утверждение:

• 3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

Неверные утверждения:

• 1) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. (Неверно, так как 1 + 2 < 4, нарушено неравенство треугольника).
• 2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. (Верно, но обратное утверждение: если равны две стороны, то равны и противолежащие им углы).

Ответ: 3