Билет 10. 1. Дайте определение угла. Обозначение угла. Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному (без доказательства). 2. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180°. 3. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 76°. Найти углы треугольника. 4. На рисунке ОА=ОС, угол 1 равен углу 2. Доказать, что АB=BC.

Билет 10.

1. Определение угла и его построение:

• Определение угла: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла).


• Обозначение угла: Угол может быть обозначен тремя точками (например, ∠ABC, где B — вершина), одной буквой (если вершина только одна) или греческой буквой (например, α, β).


• Построение равного угла: Чтобы отложить от данного луча OA угол, равный данному углу ∠MNP, нужно:




1. Из вершины N провести дугу, пересекающую стороны угла MN и NP.


2. Из вершины O провести дугу тем же радиусом.


3. Измерить расстояние между точками пересечения сторон угла MN и NP.


4. Этим же раствором циркуля провести дугу из точки пересечения луча OA с первой дугой, чтобы найти вторую точку пересечения.


5. Соединить вершину O с этой точкой — получится луч OC, образующий ∠AOC, равный ∠MNP.

2. Доказательство свойств углов при пересечении параллельных прямых секущей:

• а) Соответственные углы равны: При пересечении двух параллельных прямых секущей, соответственные углы равны. Это следует из того, что накрест лежащие углы равны (как вертикальные и равные соответственным), а сумма смежных углов равна 180°.


• б) Сумма односторонних углов равна 180°: Сумма односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 180°. Это следует из того, что каждый из односторонних углов является смежным с соответственным углом, который равен другому одностороннему углу.

3. Нахождение углов равнобедренного треугольника:

Пусть внешний угол равнобедренного треугольника равен 76°.

• Внутренний угол, смежный с внешним, равен 180° - 76° = 104°. Этот угол является углом при вершине равнобедренного треугольника.


• Два других угла (углы при основании) равны между собой. Сумма углов треугольника равна 180°.


• Сумма углов при основании = 180° - 104° = 76°.


• Каждый угол при основании = 76° / 2 = 38°.

Ответ: Углы треугольника равны 104°, 38°, 38°.

4. Доказательство равенства сторон AB и BC:

На рисунке дано: OA = OC, ∠1 = ∠2. Нужно доказать, что AB = BC.

• Рассмотрим треугольники ΔOAB и ΔOCB.


• У нас есть OA = OC (дано).


• Угол ∠1 = ∠2 (дано).


• OB — общая сторона для обоих треугольников.


• По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.


• Следовательно, ΔOAB = ΔOCB.


• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = BC.

Что и требовалось доказать.