Билет №18. 1. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Доказать свойство вертикальных углов. 3. Задача на тему «Расстояние от точки до прямой». В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС=37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ.

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• По двум катетам. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.

Доказательство: Пусть даны две пересекающиеся прямые, образующие четыре угла. Вертикальные углы - это пары углов, образованные при пересечении двух прямых, не являющиеся смежными. Пусть углы 1 и 3 вертикальные, и углы 2 и 4 вертикальные. Угол 1 + угол 2 = 180° (смежные углы). Угол 2 + угол 3 = 180° (смежные углы). Следовательно, угол 1 + угол 2 = угол 2 + угол 3. Угол 1 = угол 3.

3. Дано: ΔABC, AB = BC, AC = 37 см, внешний угол при вершине B равен 60°.

Найти: Расстояние от вершины C до прямой AB.

Решение:

1. Внешний угол при вершине B равен 60°, значит, внутренний угол при вершине B равен 180° - 60° = 120°.
2. ΔABC - равнобедренный, значит, углы при основании AC равны. ∠A = ∠C = (180° - 120°)/2 = 30°.
3. Пусть CH - высота, опущенная из вершины C на прямую AB. CH - расстояние от вершины C до прямой AB.
4. Рассмотрим ΔACH. ∠H = 90°, ∠A = 30°, AC = 37 см.
5. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, CH = AC/2 = 37/2 = 18.5 см.

Ответ: Расстояние от вершины C до прямой AB равно 18,5 см.