Билет №20. 1. Объясните, как построить биссектрису данного угла. 2. Доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 3. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найти АС и АВ.

1. Построение биссектрисы угла:

1. Из вершины угла проводим дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках A и B.
2. Из точек A и B проводим две дуги одинакового радиуса, большего половины расстояния между A и B.
3. Точка пересечения этих дуг (C) лежит на биссектрисе угла.
4. Соединяем вершину угла и точку C. Полученная прямая - биссектриса угла.

2. Дано: ΔABC, AB = BC, BH - высота, AH = HC.

Доказать: BH - медиана и биссектриса.

Доказательство:

1. ΔABH и ΔCBH - прямоугольные (BH - высота).
2. AB = BC (ΔABC - равнобедренный).
3. BH - общая сторона.
4. ΔABH = ΔCBH (по гипотенузе и катету).
5. ∠ABH = ∠CBH (как соответственные элементы равных треугольников), следовательно, BH - биссектриса.
6. AH = HC (по условию), следовательно, BH - медиана.

3. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, внешний угол при вершине A равен 120°, AC + AB = 18 см.

Найти: AC и AB.

Решение:

1. Внешний угол при вершине A равен 120°, значит, внутренний угол ∠A = 180° - 120° = 60°.
2. В ΔABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, следовательно, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (60° + 90°) = 30°.
3. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, AC = AB/2.
4. AC + AB = 18 см, следовательно, AB/2 + AB = 18. (3/2)AB = 18. AB = 18 × (2/3) = 12 см.
5. AC = AB/2 = 12/2 = 6 см.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см.