Билет №19. 1. Объяснить, как построить треугольник по трем сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение. 2. Доказать, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. 3. Задача на тему «Периметр треугольника». Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.

1. Построение треугольника по трем сторонам:

1. Проводим отрезок, равный одной из сторон (например, AB).
2. Циркулем измеряем длину второй стороны (AC) и проводим окружность с центром в точке A.
3. Циркулем измеряем длину третьей стороны (BC) и проводим окружность с центром в точке B.
4. Точка пересечения окружностей (C) - вершина треугольника.
5. Соединяем точки A, B и C.

Задача имеет решение, если выполняется неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон.

2. Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

3. Дано: ΔABC, AB = BC, AC = 8 см, BM - медиана, P(ABM) - P(BCM) = 2 см.

Найти: AB.

Решение:

1. Пусть AB = BC = x см. AM = MC = x/2 (т.к. BM - медиана). P(ABM) = AB + AM + BM = x + x/2 + BM. P(BCM) = BC + MC + BM = x + x/2 + BM.
2. P(ABM) - P(BCM) = (x + x/2 + BM) - (8 + x/2 + BM) = 2. x + x/2 + BM - (8 + x/2 + BM) = 2.
3. По условию P(ABM) - P(AMC) = 2 см, следовательно, $$P_{ABM} - P_{BCM} = AB + AM + BM - (BC + CM + BM) = AM - CM = 2$$ Так как $$P_{ABM} > P_{BCM}$$, то $$AB + AM - BC - CM=2$$ Тогда $$AB + \frac{AB}{2} - AC - \frac{AB}{2} =2$$ $$AB - AC = 2$$ $$AB - 8 = 2$$ $$AB=10$$

Ответ: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.