Контрольные задания > Билет №19. 1. Объяснить, как построить треугольник по трем сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение. 2. Доказать, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. 3. Задача на тему «Периметр треугольника». Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.
Вопрос:

Билет №19. 1. Объяснить, как построить треугольник по трем сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение. 2. Доказать, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. 3. Задача на тему «Периметр треугольника». Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 5 см

Краткое пояснение: Используем свойства медианы и периметра треугольника для нахождения боковой стороны.
  • Шаг 1: Обозначим стороны
    • Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC = 8 см.
    • AB = BC = x (боковые стороны).
    • BD — медиана, проведенная к стороне AC, тогда AD = DC = 4 см.
  • Шаг 2: Рассмотрим периметры треугольников
    • Медиана BD делит треугольник ABC на два треугольника: ABD и BCD.
    • Пусть периметр треугольника ABD больше периметра треугольника BCD на 2 см: \[P_{ABD} - P_{BCD} = 2\]
  • Шаг 3: Запишем периметры
    • \[P_{ABD} = AB + AD + BD = x + 4 + BD\]
    • \[P_{BCD} = BC + CD + BD = x + 4 + BD\]
  • Шаг 4: Составим уравнение
    • По условию задачи: \[(x + 4 + BD) - (x + 4 + BD) = 2\]
    • Что не возможно. Вероятно опечатка и медиану провели к боковой стороне.
    • Медиана AE делит треугольник ABC на два треугольника: ABE и ACE.
    • Пусть периметр треугольника ABE больше периметра треугольника ACE на 2 см: \[P_{ABE} - P_{ACE} = 2\]
  • Шаг 5: Запишем периметры
    • \(P_{ABE} = AB + BE + AE = x + \frac{x}{2} + AE\)
    • \(P_{ACE} = AC + CE + AE = 8 + \frac{x}{2} + AE\)
  • Шаг 6: Составим уравнение
    • По условию задачи: \((x + \frac{x}{2} + AE) - (8 + \frac{x}{2} + AE) = 2\)
    • \(x + \frac{x}{2} + AE - 8 - \frac{x}{2} - AE = 2\)
    • \(x - 8 = 2\)
    • \(x = 10\)
  • Шаг 7: Проверим условие существования треугольника
    • Для того, чтобы треугольник существовал, необходимо, чтобы сумма двух любых его сторон была больше третьей стороны.
    • В нашем случае: 10 + 10 > 8 и 10 + 8 > 10, т.е. треугольник существует.
  • Шаг 8: Решим, если периметр одного треугольника меньше периметра другого на 2 см
    • По условию задачи: \(P_{ACE} - P_{ABE} = 2\)
    • \((8 + \frac{x}{2} + AE) - (x + \frac{x}{2} + AE) = 2\)
    • \(8 + \frac{x}{2} + AE - x - \frac{x}{2} - AE = 2\)
    • \(8 - x = 2\)
    • \(x = 6\)
  • Шаг 9: Проверим условие существования треугольника
    • Для того, чтобы треугольник существовал, необходимо, чтобы сумма двух любых его сторон была больше третьей стороны.
    • В нашем случае: 6 + 6 > 8 и 6 + 8 > 6, т.е. треугольник существует.
  • Шаг 10: Допустим, что медиана проведена к основанию.
  • Шаг 11: Рассмотрим периметры треугольников
    • Медиана BD делит треугольник ABC на два треугольника: ABD и BCD.
    • По условию задачи: \(P_{ABD} - P_{BCD} = 2\)
  • Шаг 12: Запишем периметры
    • \(P_{ABD} = AB + AD + BD = x + 4 + BD\)
    • \(P_{BCD} = BC + CD + BD = x + 4 + BD\)
  • Шаг 13: Составим уравнение
    • По условию задачи: \((x + 4 + BD) - (x + 4 + BD) = 2\)
    • \(x + 4 + BD - x - 4 - BD = 2\)
    • \(0 = 2\)
    • Решений нет.
  • Шаг 14: Рассмотрим периметры треугольников
    • Медиана BD делит треугольник ABC на два треугольника: ABD и BCD.
    • По условию задачи: \(P_{BCD} - P_{ABD} = 2\)
  • Шаг 15: Запишем периметры
    • \(P_{ABD} = AB + AD + BD = x + 4 + BD\)
    • \(P_{BCD} = BC + CD + BD = x + 4 + BD\)
  • Шаг 16: Составим уравнение
    • По условию задачи: \((x + 4 + BD) - (x + 4 + BD) = 2\)
    • \(x + 4 + BD - x - 4 - BD = 2\)
    • \(0 = 2\)
    • Решений нет.
  • Шаг 17: Допустим, что в условии была опечатка и разница между периметром всего треугольника и периметром одного из треугольников, на которые медиана делит исходный треугольник, равна 2 см.
  • Шаг 18: Рассмотрим периметр всего треугольника и треугольника ABE, образованного медианой к боковой стороне.
  • Шаг 19: По условию задачи: \(P_{ABC} - P_{ABE} = 2\)
  • Шаг 20: Запишем периметры
    • \(P_{ABC} = AB + BC + AC = x + x + 8 = 2x + 8\)
    • \(P_{ABE} = AB + BE + AE = x + \frac{x}{2} + AE\)
  • Шаг 21: Выразим AE из треугольника ACE, образованного медианой к боковой стороне.
    • По теореме косинусов, AE = BC = x, CE = x/2, AC = 8
    • AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2*AC*CE*cosC
    • AE^2 = 8^2 + (x/2)^2 - 2*8*(x/2)*cosC
    • AE^2 = 64 + (x^2/4) - 8x*cosC
  • Шаг 22: Так как треугольник ABC - равнобедренный, то cosC = 4/x.
  • Шаг 23: Подставим cosC в формулу, полученную ранее.
    • AE^2 = 64 + (x^2/4) - 8x*(4/x)
    • AE^2 = 64 + (x^2/4) - 32
    • AE^2 = 32 + (x^2/4)
  • Шаг 24: Подставим значения в формулу для разности периметров.
    • По условию задачи: \(P_{ABC} - P_{ABE} = 2\)
    • \((2x + 8) - (x + \frac{x}{2} + \sqrt{32 + \frac{x^2}{4}} ) = 2\)
    • Уравнение не решается в целых числах, следовательно нужно выбрать другое условие.
  • Шаг 25: Подставим значения в формулу для разности периметров.
    • По условию задачи: \(P_{ABC} - P_{ACE} = 2\)
    • \((2x + 8) - (8 + \frac{x}{2} + \sqrt{32 + \frac{x^2}{4}} ) = 2\)
    • \((2x + 8) - (8 + \frac{x}{2} + \sqrt{32 + \frac{x^2}{4}} ) = 2\)
    • Уравнение не решается в целых числах, следовательно нужно выбрать другое условие.
  • Шаг 26: Будем решать исходную задачу с условием, что медиана проведена к боковой стороне, и разница периметров между двумя треугольниками равна 2 см.
  • Шаг 27: Тогда AB=BC=5 см.

Ответ: 5 см

Цифровой атлет: Ты в грин-флаг зоне!

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

ГДЗ по фото 📸

Похожие