Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначения:
   Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (км/ч).
   Скорость течения реки = 5 км/ч.
   Скорость баржи по течению = \( v + 5 \) км/ч.
   Скорость баржи против течения = \( v - 5 \) км/ч.
2. Время в пути:
   Время по течению = Расстояние / Скорость по течению = \( \frac{64}{v+5} \) часов.
   Время против течения = Расстояние / Скорость против течения = \( \frac{64}{v-5} \) часов.
3. Составляем уравнение: Общее время в пути равно 8 часам.
   \( \frac{64}{v+5} + \frac{64}{v-5} = 8 \)
4. Решаем уравнение:
   Разделим обе части на 8:
   \( \frac{8}{v+5} + \frac{8}{v-5} = 1 \)
   Приведем к общему знаменателю \( (v+5)(v-5) \):
   \( 8(v-5) + 8(v+5) = (v+5)(v-5) \)
   \( 8v - 40 + 8v + 40 = v^2 - 25 \)
   \( 16v = v^2 - 25 \)
   \( v^2 - 16v - 25 = 0 \)
5. Находим v: Используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения \( ax^2+bx+c=0 \), где \( D = b^2-4ac \).
   \( D = (-16)^2 - 4(1)(-25) = 256 + 100 = 356 \)
   \( v = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 ± \sqrt{356}}{2} \)
   \( v = \frac{16 ± 2\sqrt{89}}{2} = 8 ± \sqrt{89} \)
6. Выбираем подходящий корень: Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень. \( \sqrt{89} \) приблизительно 9.43.
   \( v = 8 + \sqrt{89} ≈ 8 + 9.43 = 17.43 \)
   Проверим, что \( v - 5 > 0 \): \( 8 + \sqrt{89} - 5 = 3 + \sqrt{89} > 0 \).

Ответ: $$8 + \sqrt{89}$$ км/ч