2. (16 баллов) В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС и угол В = 28°. Точки D и С симметричны относительно точки В. Найдите угол CDA.

Обозначим угол ∠CDA = x.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 28°) / 2 = 152° / 2 = 76°.

Точка D симметрична точке C относительно точки B, значит, точка B является серединой отрезка CD, и CB = BD.

Рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике AB = BC = BD, то есть треугольник ABD равнобедренный, и углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠BDA.

Угол ∠ABD является смежным с углом ∠ABC, следовательно, ∠ABD = 180° - ∠ABC = 180° - 28° = 152°.

Так как треугольник ABD равнобедренный, то углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠BDA = (180° - ∠ABD) / 2 = (180° - 152°) / 2 = 28° / 2 = 14°.

Теперь найдём угол ∠CAD: ∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 76° - 14° = 62°.

Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов в этом треугольнике равна 180°: ∠CDA + ∠CAD + ∠ACD = 180°.

∠ACD = ∠BCA = 76°.

Тогда: ∠CDA + 62° + 76° = 180°

∠CDA = 180° - 62° - 76° = 42°

Ответ: Угол CDA равен 42°.