1. (17 баллов) Для функции у = f(x) выполняется равенство f(a·b) = f(a) + f(b) для всех положительных a и b. Найдите f(2025), если f(3) = 2, f(5) = 3.

Для решения данной задачи нам потребуется воспользоваться свойством функции, заданным в условии: $$f(a \cdot b) = f(a) + f(b)$$. Заметим, что 2025 можно представить как произведение простых чисел. Разложим 2025 на простые множители: $$2025 = 3^4 \cdot 5^2$$. Теперь мы можем использовать данное свойство функции, чтобы выразить f(2025) через известные значения f(3) и f(5).

Итак:

$$f(2025) = f(3^4 \cdot 5^2) = f(3^4) + f(5^2)$$

Сначала найдем $$f(3^4)$$.

$$f(3^4) = f(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = f(3) + f(3) + f(3) + f(3) = 4f(3)$$.

$$f(3) = 2$$, то $$f(3^4) = 4 \cdot 2 = 8$$.

Теперь найдем $$f(5^2)$$.

$$f(5^2) = f(5 \cdot 5) = f(5) + f(5) = 2f(5)$$.

$$f(5) = 3$$, то $$f(5^2) = 2 \cdot 3 = 6$$.

Подставим найденные значения в исходное уравнение:

$$f(2025) = f(3^4) + f(5^2) = 8 + 6 = 14$$.

Ответ: $$f(2025) = 14$$.