Решение задачи 5

Дано: треугольник PSQ - прямоугольный, PS = 7, R принадлежит SQ, PR = RQ, ∠PRQ = 120°.

Найти: PQ.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник PRQ. Так как PR = RQ, то треугольник PRQ - равнобедренный. Следовательно, углы при основании PR и RQ равны: ∠RPQ = ∠RQP.
2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике PRQ ∠RPQ + ∠RQP + ∠PRQ = 180°. Так как ∠RPQ = ∠RQP, то 2 * ∠RPQ + 120° = 180°. Следовательно, 2 * ∠RPQ = 60°, а значит ∠RPQ = ∠RQP = 30°.
3. В прямоугольном треугольнике PSQ ∠PSQ = ∠RQP = 30°.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник PSQ. Тангенс угла PSQ равен отношению противолежащего катета PS к прилежащему катету SQ: $$tg(∠PSQ) = \frac{PS}{SQ}$$. Отсюда, $$tg(30°) = \frac{7}{SQ}$$.
5. Тангенс 30° равен $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$. Следовательно, $$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{7}{SQ}$$. Тогда $$SQ = \frac{7*3}{\sqrt{3}} = \frac{21}{\sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{3}}{3} = 7\sqrt{3}$$.
6. Найдем RQ. Рассмотрим треугольник PRQ. По теореме косинусов: $$PQ^2 = PR^2 + RQ^2 - 2 * PR * RQ * cos(∠PRQ)$$. Так как PR = RQ, то $$PQ^2 = 2RQ^2 - 2RQ^2 * cos(120°)$$. Косинус 120° равен -1/2. Следовательно, $$PQ^2 = 2RQ^2 + RQ^2 = 3RQ^2$$. Значит, $$PQ = RQ\sqrt{3}$$.
7. Найдем SR. SQ = SR + RQ, отсюда SR = SQ - RQ = $$7\sqrt{3} - RQ$$.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник PSR. По теореме Пифагора: $$PR^2 = PS^2 + SR^2$$. Тогда $$RQ^2 = 7^2 + (7\sqrt{3} - RQ)^2$$; $$RQ^2 = 49 + (49*3 - 14\sqrt{3}RQ + RQ^2)$$; $$0 = 49 + 147 - 14\sqrt{3}RQ$$; $$14\sqrt{3}RQ = 196$$; $$RQ = \frac{196}{14\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$$.
9. Тогда $$PQ = RQ\sqrt{3} = \frac{14\sqrt{3}}{3} * \sqrt{3} = \frac{14*3}{3} = 14$$.

Ответ: PQ = 14.