Решение задачи 6

Дано: треугольник ABC, серединный перпендикуляр к BC пересекает AB в точке D, ∠B = 45°.

Доказать: AC > AD.

Доказательство:

1. Пусть серединный перпендикуляр к BC пересекает BC в точке E. Тогда BE = EC и ∠BEC = 90°.
2. Так как DE - серединный перпендикуляр к BC, то любая точка на DE равноудалена от B и C. Следовательно, BD = CD.
3. Рассмотрим треугольник BCD. Так как BD = CD, то треугольник BCD - равнобедренный. Следовательно, ∠BCD = ∠DBC = 45°.
4. В треугольнике BCD ∠BDC = 180° - ∠BCD - ∠DBC = 180° - 45° - 45° = 90°.
5. Рассмотрим треугольник ADC. ∠ADC = 180° - ∠BDC = 180° - 90° = 90°. Следовательно, треугольник ADC - прямоугольный.
6. В прямоугольном треугольнике ADC AC - гипотенуза, а AD - катет. Гипотенуза всегда больше катета. Следовательно, AC > AD.

Что и требовалось доказать.