B7. В арифметической прогрессии (a_n) третий, четвертый и пятый члены имеют вид: $$a_3 = 3x - 10; a_4 = x + 2; a_5 = 2x - 16$$. Найдите двадцать первый член этой арифметической прогрессии.

Решение:

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и называется разностью прогрессии ($$d$$).

По условию:

• $$a_3 = 3x - 10$$
• $$a_4 = x + 2$$
• $$a_5 = 2x - 16$$

Запишем разность прогрессии через данные члены:

1. $$d = a_4 - a_3 = (x + 2) - (3x - 10) = x + 2 - 3x + 10 = -2x + 12$$.
2. $$d = a_5 - a_4 = (2x - 16) - (x + 2) = 2x - 16 - x - 2 = x - 18$$.
3. Приравняем два выражения для разности прогрессии: $$-2x + 12 = x - 18$$.
4. Решим уравнение для нахождения $$x$$: $$12 + 18 = x + 2x \rightarrow 30 = 3x \rightarrow x = 10$$.
5. Теперь найдём разность прогрессии $$d$$, подставив $$x=10$$ в любое из выражений. Используем $$d = x - 18$$: $$d = 10 - 18 = -8$$.
6. Найдём третий член прогрессии $$a_3$$, подставив $$x=10$$: $$a_3 = 3(10) - 10 = 30 - 10 = 20$$.
7. Нам нужно найти двадцать первый член прогрессии ($$a_{21}$$). Используем формулу $$n$$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_k + (n-k)d$$.
8. Возьмём $$a_3$$ и $$n=21$$, $$k=3$$: $$a_{21} = a_3 + (21-3)d = a_3 + 18d$$.
9. Подставим найденные значения $$a_3 = 20$$ и $$d = -8$$: $$a_{21} = 20 + 18(-8) = 20 - 144 = -124$$.

Ответ: -124