B5. Дан прямоугольный треугольник BAC (∠BAC = 90°), у которого AB = 15, tg∠BCA = 5/6 (см. рис.). Найдите площадь этого прямоугольного треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2$$. В данном случае $$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC$$.

Нам дан прямоугольный треугольник BAC, где ∠BAC = 90°, AB = 15, и $$\text{tg} \angle BCA = \frac{5}{6}$$.

1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла BCA: $$\text{tg} \angle BCA = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{AC}$$.
2. Подставим известные значения: $$\frac{5}{6} = \frac{15}{AC}$$.
3. Выразим AC: $$AC = \frac{15 \times 6}{5} = 3 \times 6 = 18$$.
4. Теперь найдём площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 18$$.
5. $$S = \frac{1}{2} \times 270 = 135$$.

Ответ: 135