B7. В арифметической прогрессии (aₙ) четвертый, пятый и шестой члены имеют вид: a₄ = 3x - 10; a₅ = x + 4; a₆ = 2x - 12. Найдите двадцать первый член этой арифметической прогрессии.

Решение:

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Обозначим эту разность как \( d \).

1. \( d = a_5 - a_4 \) и \( d = a_6 - a_5 \).
2. Приравняем эти выражения: \( a_5 - a_4 = a_6 - a_5 \).
3. Подставим данные члены прогрессии: \( (x + 4) - (3x - 10) = (2x - 12) - (x + 4) \).
4. Упростим обе части уравнения: \( x + 4 - 3x + 10 = 2x - 12 - x - 4 \) \( -2x + 14 = x - 16 \).
5. Решим полученное уравнение относительно \( x \): \( 14 + 16 = x + 2x \) \( 30 = 3x \) \( x = 10 \).
6. Найдем значения членов прогрессии, подставив \( x = 10 \):
• \( a_4 = 3(10) - 10 = 30 - 10 = 20 \)
• \( a_5 = 10 + 4 = 14 \)
• \( a_6 = 2(10) - 12 = 20 - 12 = 8 \)
7. Найдем разность прогрессии \( d \): \( d = a_5 - a_4 = 14 - 20 = -6 \). Проверим: \( d = a_6 - a_5 = 8 - 14 = -6 \). Разность верна.
8. Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
9. Нам нужно найти \( a_{21} \). Сначала найдем \( a_1 \): \( a_4 = a_1 + (4-1)d \) \( 20 = a_1 + 3(-6) \) \( 20 = a_1 - 18 \) \( a_1 = 20 + 18 = 38 \).
10. Теперь найдем \( a_{21} \): \( a_{21} = a_1 + (21-1)d = 38 + 20(-6) = 38 - 120 = -82 \).

Ответ: -82