B2. Упростите выражение $$\vec{TG} + \vec{RS} - \vec{OS} + \vec{MT} - \vec{NO} + \vec{GM}$$.

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, будем использовать правило сложения векторов (правило треугольника: $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$) и вычитания векторов ($$\\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$$). Перегруппируем слагаемые так, чтобы векторы шли последовательно.

1. Перепишем выражение, сгруппировав слагаемые: $$(\vec{TG} + \vec{GM}) + (\vec{RS} - \vec{OS}) + (\vec{MT} - \vec{NO})$$.
2. Применим правило сложения для первых двух векторов: $$\vec{TG} + \vec{GM} = \vec{TM}$$.
3. Преобразуем третье слагаемое: $$-\vec{OS} = \vec{SO}$$. Тогда выражение станет: $$\vec{TM} + \vec{RS} + \vec{SO} + \vec{MT} - \vec{NO}$$.
4. Сгруппируем векторы: $$(\vec{TM} + \vec{MT}) + (\vec{RS} + \vec{SO}) - \vec{NO}$$.
5. Заметим, что $$\vec{TM} + \vec{MT} = \vec{TM} + (-\vec{TM}) = \vec{0}$$ (вектор с нулевой длиной).
6. Сложим оставшиеся векторы: $$\vec{RS} + \vec{SO} = \vec{RO}$$.
7. Теперь выражение имеет вид: $$\vec{0} + \vec{RO} - \vec{NO} = \vec{RO} - \vec{NO}$$.
8. Применим правило вычитания векторов: $$\vec{RO} - \vec{NO} = \vec{RN}$$.

Альтернативный подход:

1. Перепишем вычитание как сложение противоположного вектора: $$\vec{TG} + \vec{RS} + \vec{SO} + \vec{MT} + \vec{ON} + \vec{GM}$$.
2. Сгруппируем векторы последовательно: $$(\vec{TG} + \vec{GM}) + (\vec{MT} + \vec{TG}) + (\vec{RS} + \vec{SO}) + \vec{ON}$$.
3. Сгруппируем векторы таким образом, чтобы можно было применить правило сложения: $$(\vec{TG} + \vec{GM}) + (\vec{MT} + \vec{ON}) + (\vec{RS} + \vec{SO})$$.
4. Сгруппируем векторы так, чтобы получить последовательность: $$(\vec{TG} + \vec{GM}) + (\vec{MT} + \vec{ON}) + (\vec{RS} + \vec{SO})$$.
5. Сначала используем правило вычитания: $$\vec{TG} + \vec{RS} - \vec{OS} + \vec{MT} - \vec{NO} + \vec{GM} = \vec{TG} + \vec{RS} + \vec{SO} + \vec{MT} + \vec{ON} + \vec{GM}$$.
6. Сгруппируем: $$(\vec{TG} + \vec{GM}) + (\vec{MT} + \vec{TG}) + (\vec{RS} + \vec{SO})$$.
7. $$(\vec{TG} + \vec{GM}) = \vec{TM}$$.
8. $$(\vec{RS} + \vec{SO}) = \vec{RO}$$.
9. $$\vec{MT} + \vec{ON}$$.
10. \(\vec{TM} + \vec{MT} = \vec{0}\)
11. \(\vec{TG} + \vec{GM} = \vec{TM}\)
12. \(\vec{RS} + \vec{SO} = \vec{RO}\)
13. \(\vec{MT} + \vec{ON}\)
14. \(\vec{RO} - \vec{NO} = \vec{RN}\)
15. \(\vec{TG} + \vec{RS} - \vec{OS} + \vec{MT} - \vec{NO} + \vec{GM} = (\vec{TG} + \vec{GM}) + (\vec{RS} + \vec{SO}) + (\vec{MT} - \vec{NO}) = \vec{TM} + \vec{RO} + \vec{MT} + \vec{ON} = \vec{TM} + \vec{MT} + \vec{RO} + \vec{ON} = \vec{0} + \vec{RO} + \vec{ON} = \vec{RN}\)

Ответ: $$\vec{RN}$$