A4. Точка N — середина ребра DD₁. Выразите вектор $$\vec{BN}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{BA}$$, $$\vec{b} = \vec{BB_1}$$, $$\vec{c} = \vec{BC}$$. 1) $$\vec{a} + 0.5\vec{b} + \vec{c}$$ 2) $$\vec{a} + \vec{b} + 0.5\vec{c}$$ 3) $$\vec{a} + 0.5\vec{b} - \vec{c}$$ 4) $$\vec{a} - \vec{b} + 0.5\vec{c}$$

Решение:

Для того чтобы выразить вектор $$\vec{BN}$$ через векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$, воспользуемся правилом треугольника (или параллелограмма) для сложения векторов. Вектор $$\vec{BN}$$ можно представить как сумму векторов, исходящих из точки B.

1. Найдём вектор $$\vec{BD_1}$$. В параллелепипеде $$\vec{BA} + \vec{AD_1} + \vec{D_1B_1} = \vec{BB_1}$$. Или, используя векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$: $$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$$. В данном случае, $$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{c}$$ и $$\vec{DD_1} = \vec{BB_1} = \vec{b}$$. Тогда $$\vec{BD_1} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{b}$$.
2. Точка N — середина ребра $$DD_1$$. Следовательно, $$\vec{BN} = \vec{BD} + \vec{DN}$$.
3. Вектор $$\vec{BD}$$. Так как $$ABCD$$ — основание параллелепипеда, $$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{c}$$.
4. Вектор $$\vec{DN}$$. Мы знаем, что $$\vec{DD_1} = \vec{b}$$. Так как N — середина $$DD_1$$, то $$\vec{DN} = 0.5 \vec{DD_1} = 0.5 \vec{b}$$.
5. Теперь сложим векторы: $$\vec{BN} = \vec{BD} + \vec{DN} = (\vec{a} + \vec{c}) + 0.5 \vec{b} = \vec{a} + 0.5 \vec{b} + \vec{c}$$.

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с вариантом 1.

Ответ: 1) $$\vec{a} + 0.5\vec{b} + \vec{c}$$