B1. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 15 см, а BC = 18 см.

1. Найдем радиус вписанной окружности (r):

1. Найдем высоту AM: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике ABM (где BM = MC = 18/2 = 9 см):
   \( AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \) см.
2. Найдем площадь треугольника (S):
   \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108 \) см².
3. Найдем полупериметр (p):
   \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{15 + 15 + 18}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) см.
4. Найдем радиус вписанной окружности (r) по формуле: \( r = \frac{S}{p} \)
   \( r = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4.5 \) см.

2. Найдем радиус описанной окружности (R):

Для этого воспользуемся формулой: \( R = \frac{abc}{4S} \), где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь.

\( R = \frac{15 \cdot 15 \cdot 18}{4 \cdot 108} = \frac{4050}{432} \)

Сократим дробь:

\( R = \frac{4050 \div 18}{432 \div 18} = \frac{225}{24} = \frac{75}{8} = 9.375 \) см.

Ответ: Радиус вписанной окружности r = 4.5 см, радиус описанной окружности R = 9.375 см.