Б) АВ и АС – касательные к окружности. Угол ВАС равен 60°, АО=10. Вычислите длину АС.

Б) Так как АВ и АС - касательные, проведенные из одной точки, то АО - биссектриса угла ВАС. Значит, угол ВАО = углу CAO = 60°/2 = 30°. Треугольники АВО и АСО равны (по катету и гипотенузе), значит, углы АВО и АСО прямые (90°). Рассмотрим треугольник АВО. $$\angle ABO = 90^\circ$$, $$\angle BAO = 30^\circ$$. Используем тангенс угла BAO: $$\tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AB}$$ Тогда, $$AB = \frac{BO}{\tan(\angle BAO)}$$ Так как АС = АВ, достаточно найти АВ, что бы узнать АС. Синус угла BAO: $$\sin(\angle BAO) = \frac{BO}{AO}$$ $$BO = AO * \sin(\angle BAO) = 10 * \sin(30^\circ) = 10 * \frac{1}{2} = 5$$ $$AB = \frac{5}{\tan(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$$ Ответ: АС = $$5\sqrt{3}$$