АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 78°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Угол \( ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Следовательно, величина дуги \( AB \) равна удвоенной величине вписанного угла:

\( \text{arc } AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ} \).

2. Угол \( AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AD \).

3. AC и BD — диаметры, значит, точка O — центр окружности. Треугольник \( BOC \) — равнобедренный (OB = OC — радиусы). Угол \( BOC \) равен 180° - 2 * \( \angle OBC \).

4. Угол \( AOC \) — развёрнутый (180°). Угол \( BOD \) — развёрнутый (180°).

5. Рассмотрим треугольник \( AOC \). Так как AC — диаметр, \( \angle ABC \) — вписанный, опирающийся на диаметр, значит \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

6. Угол \( BOC \) и угол \( AOD \) — вертикальные, следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC \).

7. В треугольнике \( BOC \), \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle OCB - \angle OBC \). Но нам известен \( \angle ACB = 78^{\circ} \), где \( C \) — точка на окружности.

8. В прямоугольном треугольнике \( ABC \), \( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ} - 78^{\circ} = 12^{\circ} \).

9. Угол \( AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AD \). Угол \( ABC \) — вписанный, опирающийся на дугу \( AC \). Это неверно.

10. Вернёмся к тому, что AC и BD — диаметры. Вертикальные углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) равны. В треугольнике \( BOC \), \( OB = OC \) (радиусы), значит, он равнобедренный. Углы при основании \( \angle OBC \) и \( \angle OCB \) равны.

11. Угол \( ACB = 78^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Значит, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, \( \angle AOB = 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ} \). Это неверно, \( \angle ACB \) опирается на дугу \( AB \) через центр \( O \).

12. Угол \( ACB \) — вписанный. Дуга, на которую он опирается — \( AB \). Центральный угол \( \angle AOB \) равен удвоенному вписанному углу \( \angle ACB \) если \( C \) и \( O \) на одной стороне от хорды \( AB \). Угол \( ACB = 78^{\circ} \) опирается на дугу \( AB \).

13. Угол \( CAD \) опирается на дугу \( CD \). Угол \( CBD \) опирается на дугу \( CD \). \( \angle CAD = \angle CBD \).

14. \( \angle ACB = 78^{\circ} \). Этот вписанный угол опирается на дугу \( AB \). Значит, величина дуги \( AB \) равна \( 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ} \). Центральный угол \( \angle AOB = 156^{\circ} \).

15. AC и BD — диаметры. Угол \( AOD \) и угол \( BOC \) — вертикальные. Угол \( AOB \) и угол \( COD \) — вертикальные.

16. \( \angle AOC = 180^{\circ} \) (развёрнутый). \( \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ} \).

17. \( \angle BOC \) = \( 180^{\circ} - \angle AOB \) = \( 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \). Так как \( \angle AOD = \angle BOC \), то \( \angle AOD = 24^{\circ} \).

Другой подход:

1. AC и BD — диаметры. Угол \( ACB = 78^{\circ} \).

2. \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на дугу \( CD \).

3. \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на дугу \( BC \).

4. \( \angle ACB = 78^{\circ} \). Так как \( AC \) — диаметр, то \( \angle ABC = 90^{\circ} \) (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

5. В треугольнике \( ABC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 78^{\circ} = 12^{\circ} \).

6. Угол \( BOC \) — центральный, угол \( BAC \) — вписанный, опирающиеся на дугу \( BC \). Неверно, \( \angle BOC \) опирается на дугу \( BC \), а \( \angle BAC \) на дугу \( BC \) тоже.

7. \( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 12^{\circ} = 24^{\circ} \).

8. Так как \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы, то \( \angle AOD = \angle BOC \).

\( \angle AOD = 24^{\circ} \).

Ответ: 24.