AK: KD = 2:1, S_{AKB} = 12. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Пусть \( AK = 2x \), тогда \( KD = x \).

Треугольники \( AKB \) и \( KDB \) имеют равные высоты, проведенные из вершины \( B \) к основанию \( AD \).

Отношение их площадей равно отношению их оснований:

\( \frac{S_{AKB}}{S_{KDB}} = \frac{AK}{KD} = \frac{2x}{x} = 2 \).

Известно, что \( S_{AKB} = 12 \). Тогда \( S_{KDB} = \frac{S_{AKB}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = S_{AKB} + S_{KDB} + S_{CKD} + S_{BCA} \).

В параллелограмме диагональ делит его на два равных по площади треугольника: \( S_{ABD} = S_{BCD} \).

\( S_{ABD} = S_{AKB} + S_{KDB} = 12 + 6 = 18 \).

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD} = 2 \cdot 18 = 36 \).

Ответ: 36