ABCD — трапеция, AC ⊥ BD; M, N, K, P — середины сторон. AD = 10, BC = 6. Найдите MK.

Решение:

В данной трапеции ABCD, \( AD \) и \( BC \) — основания, \( AD = 10 \) и \( BC = 6 \). \( AC \perp BD \).

M, N, K, P — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

MK — средняя линия треугольника ABD, соединяющая середины сторон AB и AD. Следовательно, \( MK \parallel BD \) и \( MK = \frac{1}{2} BD \).

NK — средняя линия треугольника BCD, соединяющая середины сторон BC и CD. Следовательно, \( NK \parallel BD \) и \( NK = \frac{1}{2} BD \).

Таким образом, \( MK = NK = \frac{1}{2} BD \).

PN — средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон AB и CD. Следовательно, \( PN \parallel AD \parallel BC \) и \( PN = \frac{AD + BC}{2} \).

M, N, K, P — середины сторон AB, BC, CD, DA. MKNP — четырехугольник, диагонали которого являются средними линиями треугольников ABD и BCD (MK, NK) и трапеции (PN, KM).

M — середина AB, P — середина AD. \( MP \) — средняя линия \( \triangle ABD \), значит \( MP = \frac{1}{2} BD \).

K — середина CD, N — середина BC. \( NK \) — средняя линия \( \triangle BCD \), значит \( NK = \frac{1}{2} BD \).

Таким образом, \( MP = NK \).

P — середина AD, N — середина BC. \( PN \) — средняя линия трапеции, \( PN = \frac{AD+BC}{2} = \frac{10+6}{2} = 8 \).

M — середина AB, K — середина CD. \( MK \) — средняя линия трапеции, \( MK = \frac{AD+BC}{2} = \frac{10+6}{2} = 8 \).

Так как \( AC \perp BD \), то площадь трапеции \( S = \frac{1}{2} (AD+BC) · h \), а также \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \).

Поскольку \( MK \) — средняя линия, соединяющая середины сторон \( AB \) и \( CD \), её длина равна полусумме оснований.

\( MK = \frac{AD + BC}{2} \).

\( MK = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).

Ответ: 8