А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке O. UAB: UAC = 2 : 3, UAB < 180°, AC <180°, ∠BAC=55°. Чему равен угол АОС?

Пусть дуга AB = 2x, дуга AC = 3x. Угол BAC является вписанным и опирается на дугу BC. Дуга BC = дуга AC - дуга AB = 3x - 2x = x. Угол BAC = 55°, следовательно, дуга BC = 2 * 55° = 110°. Таким образом, x = 110°. Дуга AC = 3x = 3 * 110° = 330°. Это противоречит условию, что дуга AC < 180°. Пересмотрим условие. Угол BAC = 55° опирается на дугу BC. Дуга BC = 2 * 55° = 110°. Пусть дуга AB = 2x, дуга AC = 3x. Дуга BC = дуга AC - дуга AB = 3x - 2x = x. Это неверно. Дуга BC = дуга AB + дуга AC, если точка O находится вне угла BAC. Если точка O находится внутри угла BAC, то дуга BC = дуга AB + дуга AC. Если точка O находится вне угла BAC, то дуга BC = дуга AC - дуга AB. Угол BAC = 55° опирается на дугу BC. Дуга BC = 2 * 55° = 110°. Пусть дуга AB = 2x, дуга AC = 3x. Дуга BC = 110°. Возможны два случая: 1) Дуга AC = Дуга AB + Дуга BC => 3x = 2x + 110° => x = 110°. Тогда Дуга AC = 3 * 110° = 330°, что противоречит условию. 2) Дуга AB = Дуга AC + Дуга BC => 2x = 3x + 110° => x = -110°, что невозможно. 3) Дуга AC = Дуга AB - Дуга BC => 3x = 2x - 110° => x = -110°, что невозможно. 4) Дуга AB = Дуга BC - Дуга AC => 2x = 110° - 3x => 5x = 110° => x = 22°. Тогда Дуга AB = 2 * 22° = 44°, Дуга AC = 3 * 22° = 66°. Дуга BC = Дуга AC - Дуга AB = 66° - 44° = 22°. Это противоречит тому, что дуга BC = 110°. Рассмотрим случай, когда дуга BC = 360° - (дуга AB + дуга AC). Дуга BC = 110°. Дуга AB = 2x, Дуга AC = 3x. 110° = 360° - (2x + 3x) => 5x = 360° - 110° = 250° => x = 50°. Дуга AB = 2 * 50° = 100°. Дуга AC = 3 * 50° = 150°. Угол АОС равен центральному углу, опирающемуся на дугу АС. Угол АОС = Дуга AC = 150°.