5. а) (2 балла) Нарисуйте график функции у = (x²-5x+6)(x+1) x-3 и напишите её область определения 6) (2 балла) Найдите точки пересечения графика с осями координат в) (2 балла) Найдите минимальное значение функции

Ответ: а) График в решении; Область определения: x ≠ 3; б) Точки пересечения с осями: (-1, 0), (2, 0), (0, -2); в) Минимальное значение функции: -0.0718

Решение:

а) Упростим функцию и найдем область определения:

1. Разложим квадратный трехчлен в числителе: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
2. Тогда функция примет вид: y = ((x - 2)(x - 3)(x + 1)) / (x - 3)
3. Сократим (x - 3) при условии x ≠ 3: y = (x - 2)(x + 1) = x² - x - 2
4. Область определения: x ≠ 3, так как при x = 3 знаменатель обращается в ноль.

б) Найдем точки пересечения графика с осями координат:

• С осью Ox (y = 0): x² - x - 2 = 0. Корни этого уравнения: x = 2 и x = -1. Точки: (-1, 0), (2, 0)
• С осью Oy (x = 0): y = 0² - 0 - 2 = -2. Точка: (0, -2)

в) Найдем минимальное значение функции:

1. Найдем производную функции: y' = 2x - 1
2. Приравняем производную к нулю: 2x - 1 = 0
3. Найдем x: x = 0.5
4. Найдем значение функции в этой точке: y(0.5) = (0.5)² - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25
5. Проверим, что это минимум, взяв вторую производную: y'' = 2 > 0, значит, это минимум.
6. Учитываем, что x ≠ 3. Т.к. точка x = 3 близка к параболе, но в ней происходит разрыв, необходимо проверить поведение функции вблизи этой точки.
7. Вычисляем значение функции вблизи x = 3:
   • При x = 2.9: y(2.9) = (2.9)^2 - 2.9 - 2 = 2.51
   • При x = 3.1: y(3.1) = (3.1)^2 - 3.1 - 2 = 2.51
8. Точка минимума x = 0.5 не попадает в область исключения, следовательно: y(0.5) = -2.25.

Ответ: а) График в решении; Область определения: x ≠ 3; б) Точки пересечения с осями: (-1, 0), (2, 0), (0, -2); в) Минимальное значение функции: -2.25