7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2) - (b + 1)(1- b) + 4 положительно при любых значениях а и в. 6) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение а(а + 2) - (b+2)(2 - b)?

Ответ: а) Доказательство в решении; б) Наименьшее значение выражения равно -5.

Решение:

а) Докажем, что выражение a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 положительно при любых значениях a и b.

1. Раскроем скобки:a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 = a² + 2a - (1 - b²)+ 4 = a² + 2a - 1 + b² + 4 = a² + 2a + b² + 3
2. Выделим полный квадрат относительно переменной a:a² + 2a + b² + 3 = (a² + 2a + 1) + b² + 2 = (a + 1)² + b² + 2
3. Так как (a + 1)² ≥ 0 и b² ≥ 0 при любых значениях a и b, то (a + 1)² + b² + 2 ≥ 2 > 0.
4. Следовательно, выражение a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 всегда положительно при любых значениях a и b.

б) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a + 2) - (b + 2)(2 - b)?

1. Раскроем скобки в выражении:a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) = a² + 2a - (4 - b²) = a² + 2a - 4 + b²
2. Выделим полный квадрат относительно переменной a:a² + 2a - 4 + b² = (a² + 2a + 1) + b² - 5 = (a + 1)² + b² - 5
3. Найдем наименьшее значение выражения. Так как (a + 1)² ≥ 0 и b² ≥ 0, то наименьшее значение выражения достигается при (a + 1)² = 0 и b² = 0. То есть, a = -1 и b = 0.
4. В этом случае: (a + 1)² + b² - 5 = 0 + 0 - 5 = -5
5. Таким образом, наименьшее значение выражения равно -5.

Ответ: а) Доказательство в решении; б) Наименьшее значение выражения равно -5.