9. (x^2 + 2x - 8)(x^2 - 9x + 14) ≥ 0

Решение:

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала найдём корни каждого квадратного трёхчлена.

1. Первый трёхчлен: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
• Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)
• Разложение: \( x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4) \)
2. Второй трёхчлен: \( x^2 - 9x + 14 = 0 \)
• Дискриминант \( D = (-9)^2 - 4(1)(14) = 81 - 56 = 25 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \)
• \( x_1 = \frac{9 + 5}{2} = 7 \)
• \( x_2 = \frac{9 - 5}{2} = 2 \)
• Разложение: \( x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2) \)

Теперь исходное неравенство примет вид:

\( (x - 2)(x + 4)(x - 7)(x - 2) \ge 0 \)

\( (x - 2)^2 (x + 4)(x - 7) \ge 0 \)

Отметим корни на числовой прямой: -4, 2, 7. Заметим, что корень \( x = 2 \) имеет чётную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется.

Рассмотрим знаки выражений на интервалах:

• При \( x > 7 \), например \( x = 8 \): \( (8-2)^2(8+4)(8-7) = 6^2 · 12 · 1 = 36 · 12 = 432 > 0 \)
• При \( 2 < x < 7 \), например \( x = 3 \): \( (3-2)^2(3+4)(3-7) = 1^2 · 7 · (-4) = -28 < 0 \)
• При \( -4 < x < 2 \), например \( x = 0 \): \( (0-2)^2(0+4)(0-7) = (-2)^2 · 4 · (-7) = 4 · (-28) = -112 < 0 \)
• При \( x < -4 \), например \( x = -5 \): \( (-5-2)^2(-5+4)(-5-7) = (-7)^2(-1)(-12) = 49 · 12 = 588 > 0 \)

Неравенство \( \ge 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; -4] \) и \( (2; 7) \). Также учитываем точки, где выражение равно нулю. Это \( x = -4 \), \( x = 2 \) и \( x = 7 \).

Так как \( x = 2 \) является корнем чётной кратности, и неравенство \( \ge 0 \), то \( x = 2 \) также включается в решение. Таким образом, объединяем интервалы и точки.

Объединяя интервалы и точки, получаем: \( (-\infty; -4] \cup \{2\} \cup (2; 7] \) => \( (-\infty; -4] \cup [2; 7] \).

Ответ: (-∞; -4] ∪ [2; 7].