4. (x^2 + x - 12)(x^2 + x - 20) ≤ 0

Решение:

Данное неравенство является биквадратным. Удобно сделать замену переменной.

Пусть \( y = x^2 + x \).

Тогда неравенство примет вид:

\( (y - 12)(y - 20) \le 0 \)

Найдем корни этого квадратного трёхчлена относительно \( y \):

• \( y - 12 = 0 \) => \( y = 12 \)
• \( y - 20 = 0 \) => \( y = 20 \)

Решением неравенства \( (y - 12)(y - 20) \le 0 \) является промежуток \( [12; 20] \).

Теперь вернёмся к переменной \( x \) и получим систему неравенств:

\( 12 \le x^2 + x \le 20 \)

Разделим эту систему на два неравенства:

1. \( x^2 + x \ge 12 \)
• \( x^2 + x - 12 \ge 0 \)
• Найдем корни \( x^2 + x - 12 = 0 \): \( D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \)
• \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \)
• Решением \( x^2 + x - 12 \ge 0 \) являются \( x \in (-\infty; -4] \cup [3; \infty) \).
2. \( x^2 + x \le 20 \)
• \( x^2 + x - 20 \le 0 \)
• Найдем корни \( x^2 + x - 20 = 0 \): \( D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \)
• \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5 \)
• Решением \( x^2 + x - 20 \le 0 \) являются \( x \in [-5; 4] \).

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств:

\( ( (-\infty; -4] \cup [3; \infty) ) \cap [-5; 4] \)

Пересечение:

• \( (-\infty; -4] \cap [-5; 4] = [-5; -4] \)
• \( [3; \infty) \cap [-5; 4] = [3; 4] \)

Объединяя эти промежутки, получаем окончательное решение.

Ответ: [-5; -4] ∪ [3; 4].