3. (x^2 + 3x - 18)(x^2 - 5x + 6) ≤ 0

Решение:

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала найдём корни каждого квадратного трёхчлена.

1. Первый трёхчлен: \( x^2 + 3x - 18 = 0 \)
• Дискриминант \( D = 3^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = -6 \)
• Разложение: \( x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x + 6) \)
2. Второй трёхчлен: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
• Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \)
• \( x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)
• Разложение: \( x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \)

Теперь исходное неравенство примет вид:

\( (x - 3)(x + 6)(x - 3)(x - 2) \le 0 \)

\( (x - 3)^2 (x + 6)(x - 2) \le 0 \)

Отметим корни на числовой прямой: -6, 2, 3. Заметим, что корень \( x = 3 \) имеет чётную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется.

Рассмотрим знаки выражений на интервалах:

• При \( x > 3 \), например \( x = 4 \): \( (4-3)^2(4+6)(4-2) = 1^2 · 10 · 2 = 20 > 0 \)
• При \( 2 < x < 3 \), например \( x = 2.5 \): \( (2.5-3)^2(2.5+6)(2.5-2) = (-0.5)^2(8.5)(0.5) = 0.25 · 8.5 · 0.5 > 0 \)
• При \( -6 < x < 2 \), например \( x = 0 \): \( (0-3)^2(0+6)(0-2) = 9 · 6 · (-2) = -108 < 0 \)
• При \( x < -6 \), например \( x = -7 \): \( (-7-3)^2(-7+6)(-7-2) = (-10)^2(-1)(-9) = 100 · 9 = 900 > 0 \)

Неравенство \( \le 0 \) выполняется на интервале \( (-6; 2) \). Также учитываем точки, где выражение равно нулю. Это \( x = -6 \), \( x = 2 \) и \( x = 3 \).

Объединяя интервал и точки, получаем: \( [-6; 2] \cup \{3\} \).

Ответ: [-6; 2] ∪ {3}.