9. Периметр равнобедренного треугольника равен 37см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны a, a, b.

Периметр: \( 2a + b = 37 \)

Разность двух сторон равна 4 см. Возможны два случая:

Случай 1: a - b = 4

Из первого уравнения: \( b = 37 - 2a \).

Подставляем во второе: \( a - (37 - 2a) = 4 \)

\( a - 37 + 2a = 4 \)

\( 3a = 41 \)

\( a = \frac{41}{3} \) см.

\( b = 37 - 2 \cdot \frac{41}{3} = 37 - \frac{82}{3} = \frac{111 - 82}{3} = \frac{29}{3} \) см.

Стороны: \(\frac{41}{3}\), \(\frac{41}{3}\), \(\frac{29}{3}\).

Внешний угол острый. В равнобедренном треугольнике внешний угол может быть острым, если соответствующий внутренний угол тупой или прямой. Это возможно.

Случай 2: a - b = -4 (или b - a = 4)

Из первого уравнения: \( b = 37 - 2a \).

Подставляем во второе: \( a - (37 - 2a) = -4 \)

\( a - 37 + 2a = -4 \)

\( 3a = 33 \)

\( a = 11 \) см.

\( b = 37 - 2 \cdot 11 = 37 - 22 = 15 \) см.

Стороны: 11 см, 11 см, 15 см.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при вершине тупой, то углы при основании острые. Если угол при вершине острый, то углы при основании могут быть острыми или тупыми. Если боковая сторона больше основания (15 > 11), то угол при вершине острый. Если основание больше боковой стороны (15 > 11), то угол при вершине тупой. Это противоречит условию, что один из внешних углов острый. Внешний угол острый, значит, смежный с ним внутренний угол тупой. В треугольнике может быть только один тупой угол. Если угол при основании тупой, то другой угол при основании тоже тупой (так как они равны), что невозможно. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине. В этом случае боковые стороны равны 11 см, а основание 15 см. Внешний угол при основании будет острым, а внешний угол при вершине — тупым. Условие, что один из внешних углов острый, выполняется.

Ответ: Стороны треугольника равны 11 см, 11 см и 15 см.