9. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 3x + 18 - x²; x = -2; x = 2 и осью ох. Выполните чертеж.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью ox и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \).

В данном случае \( f(x) = -x^2 + 3x + 18 \), \( a = -2 \), \( b = 2 \).

Сначала найдём корни уравнения \( -x^2 + 3x + 18 = 0 \), чтобы определить, пересекает ли парабола ось ox на интервале \( [-2; 2] \).

1. \( x^2 - 3x - 18 = 0 \)
   \( D = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \)
   \( \sqrt{D} = 9 \)
   \( x_1 = \frac{3 + 9}{2} = 6 \), \( x_2 = \frac{3 - 9}{2} = -3 \).
2. Так как корни \( x = 6 \) и \( x = -3 \) лежат вне интервала \( [-2; 2] \), а ветви параболы направлены вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), то на интервале \( [-2; 2] \) функция \( f(x) \) принимает положительные значения.
3. Вычислим площадь, используя определённый интеграл: \( S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 3x + 18) dx \)
4. \( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 18x \right]_{-2}^{2} \)
5. \( S = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{3(2)^2}{2} + 18(2) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{3(-2)^2}{2} + 18(-2) \right) \)
6. \( S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{12}{2} + 36 \right) - \left( -\frac{-8}{3} + \frac{12}{2} - 36 \right) \)
7. \( S = \left( -\frac{8}{3} + 6 + 36 \right) - \left( \frac{8}{3} + 6 - 36 \right) \)
8. \( S = \left( -\frac{8}{3} + 42 \right) - \left( \frac{8}{3} - 30 \right) \)
9. \( S = -\frac{8}{3} + 42 - \frac{8}{3} + 30 \)
10. \( S = 72 - \frac{16}{3} = \frac{216 - 16}{3} = \frac{200}{3} \)

Чертеж:

Функция \( y = -x^2 + 3x + 18 \) — парабола с вершиной в точке \( x = -\frac{3}{2(-1)} = 1,5 \), \( y = -(1,5)^2 + 3(1,5) + 18 = -2,25 + 4,5 + 18 = 20,25 \).

На интервале \( [-2; 2] \) функция положительна.

Ответ: \( \frac{200}{3} \)