10. Решите уравнение. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; 2π] sin² x - 5sin x cos x = - 6cos² x

Решение:

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\( \text{sin}^2 x - 5\text{sin} x \text{cos} x + 6\text{cos}^2 x = 0 \)

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

Разделим обе части уравнения на \( \text{cos}^2 x \) (при условии, что \( \text{cos} x \neq 0 \). Если \( \text{cos} x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). Подставим в исходное уравнение: \( \text{sin}^2 x = 0 \). Но \( \text{sin}^2 x + \text{cos}^2 x = 1 \), значит \( \text{sin}^2 x = 1 \). Получаем \( 1 = 0 \), что неверно. Следовательно, \( \text{cos} x \neq 0 \)).

\( \frac{\text{sin}^2 x}{\text{cos}^2 x} - 5\frac{\text{sin} x \text{cos} x}{\text{cos}^2 x} + 6\frac{\text{cos}^2 x}{\text{cos}^2 x} = 0 \)

\( \text{tg}^2 x - 5\text{tg} x + 6 = 0 \)

Сделаем замену \( y = \text{tg} x \):

\( y^2 - 5y + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

1. \( D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)
2. \( \sqrt{D} = 1 \)
3. \( y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( y_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)

Теперь вернёмся к замене:

• \( \text{tg} x = 3 \) \(\implies\) \( x = \text{arctg} 3 + \pi n \)
• \( \text{tg} x = 2 \) \(\implies\) \( x = \text{arctg} 2 + \pi n \)

Найдем корни, принадлежащие промежутку \( [0; 2\pi] \).

Для \( \text{tg} x = 3 \):

• \( n = 0 \): \( x_1 = \text{arctg} 3 \) (находится в первой четверти)
• \( n = 1 \): \( x_2 = \text{arctg} 3 + \pi \) (находится в третьей четверти)

Для \( \text{tg} x = 2 \):

• \( n = 0 \): \( x_3 = \text{arctg} 2 \) (находится в первой четверти)
• \( n = 1 \): \( x_4 = \text{arctg} 2 + \pi \) (находится в третьей четверти)

\( \text{arctg} 3 \approx 1,249 \) радиан.

\( \text{arctg} 2 \approx 1,107 \) радиан.

\( \pi approx 3,14159 \)

\( x_1 approx 1,249 \)

\( x_2 approx 1,249 + 3,14159 = 4,39059 \)

\( x_3 approx 1,107 \)

\( x_4 approx 1,107 + 3,14159 = 4,24859 \)

Все четыре корня находятся в промежутке \( [0; 2\pi] \) (так как \( 2\pi approx 6,283 \)).

Ответ: \( x = \text{arctg} 3 \), \( x = \text{arctg} 2 \), \( x = \pi + \text{arctg} 3 \), \( x = \pi + \text{arctg} 2 \)