9. Найдите точку минимума функции y = (48-x)e⁴⁸⁻ˣ.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = (48-x)e^{48-x} \) необходимо найти первую производную функции и приравнять её к нулю.

Используем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = 48-x \) и \( v = e^{48-x} \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

\( u' = (48-x)' = -1 \)

\( v' = (e^{48-x})' = e^{48-x} \cdot (48-x)' = e^{48-x} \cdot (-1) = -e^{48-x} \)

Теперь найдем производную функции \( y \):

\( y' = (-1) · e^{48-x} + (48-x) · (-e^{48-x}) \)

\( y' = -e^{48-x} - (48-x)e^{48-x} \)

Вынесем общий множитель \( -e^{48-x} \):

\( y' = -e^{48-x} (1 + (48-x)) \)

\( y' = -e^{48-x} (1 + 48 - x) \)

\( y' = -e^{48-x} (49 - x) \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -e^{48-x} (49 - x) = 0 \)

Так как \( e^{48-x} \) всегда больше нуля, то множитель \( (49 - x) \) должен быть равен нулю:

\( 49 - x = 0 \)

\( x = 49 \)

Теперь определим, является ли эта точка точкой минимума, исследуя знак производной.

Возьмем значение \( x < 49 \), например \( x = 48 \):

\( y'(48) = -e^{48-48} (49 - 48) = -e^0 (1) = -1 · 1 = -1 \)

Производная отрицательна, значит, функция убывает.

Возьмем значение \( x > 49 \), например \( x = 50 \):

\( y'(50) = -e^{48-50} (49 - 50) = -e^{-2} (-1) = e^{-2} \)

Производная положительна, значит, функция возрастает.

Так как производная меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = 49 \), эта точка является точкой минимума.

Ответ: 49