9. Найдите наименьшее целое решение неравенства f'(x)/g'(x) ≥ 0, где f(x)=16x-2x², g(x)=24x-2x³.

Сначала найдем производные функций $$f(x)$$ и $$g(x)$$.

Производная $$f(x) = 16x - 2x^2$$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(16x) - \frac{d}{dx}(2x^2) = 16 - 4x$$.

Производная $$g(x) = 24x - 2x^3$$:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(24x) - \frac{d}{dx}(2x^3) = 24 - 6x^2$$.

Теперь рассмотрим неравенство $$\frac{f'(x)}{g'(x)} \ge 0$$:

$$\frac{16 - 4x}{24 - 6x^2} \ge 0$$.

Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{4(4 - x)}{6(4 - x^2)} \ge 0$$

$$\frac{2(4 - x)}{3(2 - x)(2 + x)} \ge 0$$.

Рассмотрим знаки выражений в числителе и знаменателе. Найдем корни:

Числитель: $$4 - x = 0 \implies x = 4$$.

Знаменатель: $$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$.

Получим интервалы: $$(-\infty, -2)$$, $$(-2, 2)$$, $$(2, 4)$$, $$(4, \infty)$$.

Проверим знаки в каждом интервале:

1. $$x < -2$$ (например, $$x=-3$$): $$\frac{2(4 - (-3))}{3(4 - (-3)^2)} = \frac{2(7)}{3(4 - 9)} = \frac{14}{3(-5)} = \frac{14}{-15} < 0$$.

2. $$-2 < x < 2$$ (например, $$x=0$$): $$\frac{2(4 - 0)}{3(4 - 0)} = \frac{2(4)}{3(4)} = \frac{8}{12} > 0$$.

3. $$2 < x < 4$$ (например, $$x=3$$): $$\frac{2(4 - 3)}{3(4 - 3^2)} = \frac{2(1)}{3(4 - 9)} = \frac{2}{3(-5)} = \frac{2}{-15} < 0$$.

4. $$x > 4$$ (например, $$x=5$$): $$\frac{2(4 - 5)}{3(4 - 5^2)} = \frac{2(-1)}{3(4 - 25)} = \frac{-2}{3(-21)} = \frac{-2}{-63} > 0$$.

Неравенство выполняется при $$-2 < x < 2$$ или $$x > 4$$.

Нам нужно наименьшее целое решение. Из интервала $$(-2, 2)$$ наименьшее целое число — это $$-1$$.

Ответ: -1