9. Диаметр АВ окружности перпендикулярен хорде CD и пересекает её в точке М. Найдите CD, если АM = 5, MB = 9.

Дано: Окружность с центром О. Диаметр АВ ⊥ хорде CD в точке М. AM = 5, MB = 9.

Найти: CD.

Решение:

1. Находим длину диаметра AB: AB = AM + MB = 5 + 9 = 14.
2. Находим радиус окружности: Радиус R = AB / 2 = 14 / 2 = 7.
3. Находим длину отрезка OM: Так как AB — диаметр, центр О лежит на AB. OM = |OA - AM| = |R - AM| = |7 - 5| = 2. (Или OM = |OB - MB| = |R - MB| = |7 - 9| = |-2| = 2).
4. Используем свойство перпендикулярных хорд: Так как AB ⊥ CD, то точка М делит хорду CD пополам. То есть CM = MD, и CD = 2 * CM.
5. Применяем теорему о пересекающихся хордах (или теорему Пифагора для прямоугольного треугольника OCM): В прямоугольном треугольнике OCM: OC² = OM² + CM².
6. Подставляем известные значения: OC — это радиус R = 7. OM = 2.
7. 7² = 2² + CM²
8. 49 = 4 + CM²
9. CM² = 49 - 4 = 45
10. CM = \sqrt{45} = \sqrt{9 * 5} = 3\sqrt{5}.
11. Находим длину хорды CD: CD = 2 * CM = 2 * 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}.

Ответ: 6\sqrt{5}