9. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВС=3, AD=7, AC=20. Найдите АО.

Решение:

Данная трапеция \( ABCD \) с основаниями \( BC \) и \( AD \). Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \).

Треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \) подобны (по двум углам: \( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные, \( \angle OBC = \angle ODA \) как накрест лежащие при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \), \( \angle OCB = \angle OAD \) как накрест лежащие при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \)).

Отношение подобия равно отношению оснований:

\( \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} \)

Дано: \( BC = 3 \), \( AD = 7 \), \( AC = 20 \).

Из подобия треугольников имеем:

\( \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{7} \)

Известно, что \( AC = AO + OC = 20 \).

Пусть \( AO = x \), тогда \( OC = 20 - x \).

Подставим в пропорцию:

\( \frac{20 - x}{x} = \frac{3}{7} \)

Решим уравнение:

\( 7(20 - x) = 3x \)

\( 140 - 7x = 3x \)

\( 140 = 10x \)

\( x = \frac{140}{10} = 14 \).

Значит, \( AO = 14 \) см.

Ответ: 14.