838. Впишите вместо многоточия какое-либо число так, чтобы полученное неравенство было верно при любых значениях a и b: а) a² + b² − 8a − 16b + … > 0; б) a² − 4a + b² − 4b + … > 0; в) 4a² + b² + 12a − 4b + … > 0; г) 9a² + 16b² − 6a − 8b + … > 0.

Чтобы неравенство было строгим при любых значениях переменных, свободный член должен сделать минимальное значение выражения положительным.

а)

\(a^2+b^2-8a-16b+C=(a-4)^2+(b-8)^2+C-80\).

Достаточно взять \(C=81\). Тогда получаем \((a-4)^2+(b-8)^2+1>0\).

б)

\(a^2-4a+b^2-4b+C=(a-2)^2+(b-2)^2+C-8\).

Достаточно взять \(C=9\). Тогда выражение равно \((a-2)^2+(b-2)^2+1>0\).

в)

\(4a^2+b^2+12a-4b+C=4\left(a+\frac32\right)^2+(b-2)^2+C-13\).

Достаточно взять \(C=14\). Тогда выражение равно \(4\left(a+\frac32\right)^2+(b-2)^2+1>0\).

г)

\(9a^2+16b^2-6a-8b+C=(3a-1)^2+(4b-1)^2+C-2\).

Достаточно взять \(C=3\). Тогда выражение равно \((3a-1)^2+(4b-1)^2+1>0\).

Ответ: а) 81; б) 9; в) 14; г) 3.