8. Упростите выражение (а + 1)³ – (а – 1)³.

Решение:

Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности:

\( (a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 · 1 + 3a · 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 \)

\( (a - 1)^3 = a^3 - 3a^2 · 1 + 3a · 1^2 - 1^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1 \)

Теперь вычтем второе выражение из первого:

\( (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - (a^3 - 3a^2 + 3a - 1) \)

Раскроем скобки:

\( a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 + 3a^2 - 3a + 1 \)

Приведем подобные слагаемые:

\( (a^3 - a^3) + (3a^2 + 3a^2) + (3a - 3a) + (1 + 1) \)

\( 0 + 6a^2 + 0 + 2 \)

\( 6a^2 + 2 \)

Примечание: В вариантах ответа нет этого выражения. Возможно, в задании была опечатка или требовалось другое упрощение.

Если бы требовалось упростить \( (a+1)^3 - (a-1)^3 \) то получилось бы \( 6a^2+2 \).

Если же из предложенных вариантов нужно выбрать, то попробуем подставить число, например \( a=2 \).

\( (2+1)^3 - (2-1)^3 = 3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26 \).

Проверим варианты:

1) \( 2 \) - не подходит

2) \( 6a(a+1) = 6a^2 + 6a \) при \( a=2 \) = \( 6(4) + 6(2) = 24 + 12 = 36 \) - не подходит

4) \( 6a^2 \) при \( a=2 \) = \( 6(4) = 24 \) - не подходит

Возможно, в условии задания была другая степень или другие числа.

Если предположить, что правильный ответ — это \( 6a^2 + 2 \), то ни один из предложенных вариантов не подходит.

Если бы имелось в виду \( (a+1)^2 - (a-1)^2 \), то это \( (a^2+2a+1) - (a^2-2a+1) = 4a \).

Если предположить, что ответ \( 6a^2+2 \), а из вариантов выбрать ближайший, то это \( 6a^2 \).

Ответ: (Нет точного совпадения среди вариантов, но ближайший по форме - 4) 6a²).