8. Турист проплыл на моторной лодке 30 км против течения реки и вернулся назад на плоту. Найдите скорость течения реки, если на плоту турист плыл на 3 ч дольше, чем на лодке, а собственная скорость лодки равна 15 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_{теч} \) — скорость течения реки (км/ч). Тогда:

• Скорость лодки против течения: \( 15 - v_{теч} \) км/ч.
• Скорость плота (скорость течения): \( v_{теч} \) км/ч.

Время в пути:

• Время на лодке: \( t_{лодка} = \frac{30}{15 - v_{теч}} \) ч.
• Время на плоту: \( t_{плот} = \frac{30}{v_{теч}} \) ч.

По условию, турист плыл на плоту на 3 часа дольше, чем на лодке:

\[ t_{плот} - t_{лодка} = 3 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{30}{v_{теч}} - \frac{30}{15 - v_{теч}} = 3 \]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[ \frac{10}{v_{теч}} - \frac{10}{15 - v_{теч}} = 1 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( v_{теч}(15 - v_{теч}) \):

\[ \frac{10(15 - v_{теч}) - 10v_{теч}}{v_{теч}(15 - v_{теч})} = 1 \]

\( \frac{150 - 10v_{теч} - 10v_{теч}}{15v_{теч} - v_{теч}^2} = 1 \)

\( \frac{150 - 20v_{теч}}{15v_{теч} - v_{теч}^2} = 1 \)

Перенесем знаменатель в правую часть:

\[ 150 - 20v_{теч} = 15v_{теч} - v_{теч}^2 \]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ v_{теч}^2 + 15v_{теч} - 20v_{теч} - 150 = 0 \]

\( v_{теч}^2 - 5v_{теч} - 150 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 \)

Найдем значения \( v_{теч} \):

• \( v_{теч1} = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
• \( v_{теч2} = \frac{5 - 25}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)

Скорость течения реки не может быть отрицательной, поэтому \( v_{теч} = 15 \) км/ч не подходит, так как скорость лодки против течения была бы 0, что невозможно для движения. Значит, \( v_{теч} = 15 \) не подходит. Перепроверим условие: скорость лодки против течения \( 15 - v_{теч} \), а скорость плота \( v_{теч} \). Если \( v_{теч} = 15 \), то скорость против течения равна 0, что неверно. Следовательно, \( v_{теч} \) не может быть 15. Проверим вычисления.

\( v_{теч}^2 - 5v_{теч} - 150 = 0 \) → \( v_{теч} = 15 \) и \( v_{теч} = -10 \). Скорость течения не может быть отрицательной. Если \( v_{теч}=15 \), то скорость лодки против течения \( 15-15=0 \), что невозможно. Следовательно, \( v_{теч} \) должно быть меньше 15.

Возможно, в решении предыдущего шага была ошибка. Пересчитаем.

\( v_{теч}^2 - 5v_{теч} - 150 = 0 \) - это правильное квадратное уравнение.

\( v_{теч1} = \frac{5+25}{2} = 15 \) - этот корень не подходит, т.к. скорость лодки против течения должна быть положительной.

\( v_{теч2} = \frac{5-25}{2} = -10 \) - этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Проверим условие задачи: \( t_{плот} - t_{лодка} = 3 \).

\( \frac{30}{v_{теч}} - \frac{30}{15 - v_{теч}} = 3 \).

Если \( v_{теч} = 10 \), то:

\( t_{плот} = \frac{30}{10} = 3 \) ч.

\( t_{лодка} = \frac{30}{15 - 10} = \frac{30}{5} = 6 \) ч.

\( t_{плот} - t_{лодка} = 3 - 6 = -3 \) ч. Это не подходит.

Если \( v_{теч} = 5 \), то:

\( t_{плот} = \frac{30}{5} = 6 \) ч.

\( t_{лодка} = \frac{30}{15 - 5} = \frac{30}{10} = 3 \) ч.

\( t_{плот} - t_{лодка} = 6 - 3 = 3 \) ч. Это подходит!

Ответ: Скорость течения реки равна 5 км/ч.