5. Найдите решение системы уравнений пользуясь рисунком справа.

Решение:

Система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ x + y = 4 \end{cases} \]

Первое уравнение \( x^2 + y^2 = 16 \) задает окружность с центром в начале координат \( (0;0) \) и радиусом \( R = \sqrt{16} = 4 \).

Второе уравнение \( x + y = 4 \) задает прямую. Преобразуем его к виду \( y = 4 - x \).

По рисунку видно, что прямая пересекает окружность в двух точках. Эти точки и являются решениями системы.

Подставим \( y = 4 - x \) в первое уравнение:

\[ x^2 + (4 - x)^2 = 16 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + (16 - 8x + x^2) = 16 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ 2x^2 - 8x + 16 = 16 \]

\( 2x^2 - 8x = 0 \)

\( 2x(x - 4) = 0 \)

Отсюда получаем два значения для \( x \):

• \( x_1 = 0 \)
• \( x_2 = 4 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) во второе уравнение \( y = 4 - x \):

• При \( x_1 = 0 \): \( y_1 = 4 - 0 = 4 \).
• При \( x_2 = 4 \): \( y_2 = 4 - 4 = 0 \).

Решения системы: \( (0; 4) \) и \( (4; 0) \).

Ответ: \( (0; 4) \) и \( (4; 0) \).