6. Решите неравенство х(х+8)(3 - x) ≤ 0.

Решение:

Найдем корни уравнения \( x(x+8)(3-x) = 0 \).

• \( x = 0 \)
• \( x + 8 = 0 \implies x = -8 \)
• \( 3 - x = 0 \implies x = 3 \)

Отметим эти корни на числовой оси и определим знаки выражений в каждом интервале:

| Интервал | \( x \) | \( x+8 \) | \( 3-x \) | \( x(x+8)(3-x) \) |

|---|---|---|---|---|

| \( (-\infty; -8) \) | - | - | + | + |

| \( (-8; 0) \) | - | + | + | - |

| \( (0; 3) \) | + | + | + | + |

| \( (3; +\infty) \) | + | + | - | - |

Нам нужно найти интервалы, где выражение \( x(x+8)(3-x) \) неположительно (меньше или равно 0).

Это интервалы \( [-8; 0] \) и \( [3; +\infty) \).

Ответ: \( [-8; 0] \) \( \cup \) \( [3; +\infty) \).