8. Тип 18 № 3839 i Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.

Решение:

1. Пусть AM — биссектриса угла A, а DM — биссектриса угла D параллелограмма ABCD.
2. Биссектриса угла параллелограмма делит этот угол пополам.
3. Углы A и D смежные, поэтому \(∠A + ∠D = 180^°\).
4. Так как AM — биссектриса \(∠A\), то \(∠1 = ∠A/2\).
5. Так как DM — биссектриса \(∠D\), то \(∠2 = ∠D/2\).
6. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов в треугольнике равна \(180^°\).
7. \(∠AMD + ∠1 + ∠2 = 180^°\).
8. \(∠AMD + ∠A/2 + ∠D/2 = 180^°\).
9. \(∠AMD + (∠A + ∠D)/2 = 180^°\).
10. Подставим \(∠A + ∠D = 180^°\): \(∠AMD + 180^°/2 = 180^°\).
11. \(∠AMD + 90^° = 180^°\).
12. \(∠AMD = 90^°\).
13. Таким образом, биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
14. Точка M лежит на стороне BC.
15. Рассмотрим углы \(∠1\) и \(∠BAM\). Так как AD || BC, то AM — секущая.
16. \(∠DAM = ∠AMB\) как накрест лежащие углы.
17. Так как AM — биссектриса \(∠A\), то \(∠DAM = ∠BAM\).
18. Следовательно, \(∠BAM = ∠AMB\).
19. Это означает, что треугольник ABM — равнобедренный с основанием AB.
20. Значит, BM = AB = 6.
21. Аналогично, рассмотрим биссектрису DM. Углы \(∠ADM\) и \(∠DMC\) как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей DM.
22. Так как DM — биссектриса \(∠D\), то \(∠ADM = ∠CDM\).
23. Следовательно, \(∠CDM = ∠DMC\).
24. Это означает, что треугольник DMC — равнобедренный с основанием DC.
25. Значит, MC = DC.
26. Так как ABCD — параллелограмм, то AB = DC и AD = BC.
27. Мы нашли, что AB = 6, следовательно DC = 6.
28. Тогда MC = 6.
29. BC = BM + MC = 6 + 6 = 12.
30. Так как AD = BC, то AD = 12.
31. Периметр параллелограмма ABCD равен \(2(AB + AD)\).
32. Периметр = \(2(6 + 12) = 2(18) = 36\).

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 36.