8. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами прямоугольника и его диагональю, диагональ является гипотенузой. Описанная около прямоугольника окружность имеет диаметр, равный диагонали прямоугольника.

По условию, диаметр описанной окружности равен 13, значит, диагональ прямоугольника \( d = 13 \).

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \) обозначим как \( \alpha \). По условию, \( \sin(\alpha) = \frac{12}{13} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \), синус угла \( \alpha \) (между стороной \( a \) и диагональю \( d \)) равен отношению противолежащего катета (стороны \( b \)) к гипотенузе (диагонали \( d \)):

\( \sin(\alpha) = \frac{b}{d} \).

Подставим известные значения: \( \frac{12}{13} = \frac{b}{13} \).

Отсюда находим \( b = 12 \).

Теперь найдём сторону \( a \). Используем теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).

\( a^2 + 12^2 = 13^2 \).

\( a^2 + 144 = 169 \).

\( a^2 = 169 - 144 \).

\( a^2 = 25 \).

\( a = \sqrt{25} = 5 \).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = a \cdot b \).

\( S = 5 \cdot 12 = 60 \).

Ответ: 60.