8. Решите систему уравнений $${\left\{\begin{array}{l} \frac{2x-y}{6}+\frac{2x+y}{9}=3 \\ \frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{4}=4 \end{array}\right.}$$

Решение:

Приведем оба уравнения системы к более простому виду, избавившись от знаменателей.

Первое уравнение:

1. Найдем общий знаменатель для 6 и 9, он равен 18.
2. Умножим обе части уравнения на 18: \( 18 · \frac{2x-y}{6} + 18 · \frac{2x+y}{9} = 18 · 3 \)
3. \( 3(2x-y) + 2(2x+y) = 54 \)
4. \( 6x - 3y + 4x + 2y = 54 \)
5. \( 10x - y = 54 \)

Второе уравнение:

1. Найдем общий знаменатель для 3 и 4, он равен 12.
2. Умножим обе части уравнения на 12: \( 12 · \frac{x+y}{3} - 12 · \frac{x-y}{4} = 12 · 4 \)
3. \( 4(x+y) - 3(x-y) = 48 \)
4. \( 4x + 4y - 3x + 3y = 48 \)
5. \( x + 7y = 48 \)

Теперь у нас есть упрощенная система:

$${\left\{\begin{array}{l} 10x-y=54 \\ x+7y=48 \end{array}\right.}$$

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 10x - 54 \).

Подставим во второе уравнение:

1. \( x + 7(10x - 54) = 48 \)
2. \( x + 70x - 378 = 48 \)
3. \( 71x - 378 = 48 \)
4. \( 71x = 48 + 378 \)
5. \( 71x = 426 \)
6. \( x = \frac{426}{71} = 6 \)
7. Теперь найдем \( y \), подставив \( x=6 \) в \( y = 10x - 54 \): \( y = 10 · 6 - 54 = 60 - 54 = 6 \)

Ответ: \( x=6, y=6 \).