7. Найти значение производной функции y = \( \frac{x}{x+1} \) в точке x_0 = -2.

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = \frac{x}{x+1} \) с помощью правила дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
2. Здесь \( u = x \), \( v = x+1 \). Тогда \( u' = 1 \), \( v' = 1 \).
3. \( y' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} \).
4. Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = -2 \): \( y'(-2) = \frac{1}{(-2+1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1 \).

Ответ: 1