8. Постройте прямоугольник ABCD, если A (-4;5), C (3;-2). Найдите координаты точки B и вычислите периметр прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике ABCD координаты вершин связаны следующим образом: \( A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B), C=(x_C, y_C), D=(x_D, y_D) \).

Для прямоугольника ABCD, у которого стороны параллельны осям координат, справедливы соотношения:

\( x_B = x_A \) и \( y_B = y_C \), либо \( x_B = x_C \) и \( y_B = y_A \).

У нас есть \( A=(-4; 5) \) и \( C=(3; -2) \).

Вариант 1: Если AB параллельна оси X, а AD параллельна оси Y.

Тогда \( D=(x_A, y_C) = (-4; -2) \) и \( B=(x_C, y_A) = (3; 5) \).

Вариант 2: Если AB параллельна оси Y, а AD параллельна оси X.

Тогда \( D=(x_C, y_A) = (3; 5) \) и \( B=(x_A, y_C) = (-4; -2) \).

Предположим, что стороны прямоугольника параллельны осям координат. Тогда координаты вершины B будут \( (3, 5) \) (если \(x_A < x_C\) и \(y_C < y_A\)) или \( (-4, -2) \) (в другом случае).

Возьмём первую пару координат для B: \( B=(3; 5) \).

Найдем длины сторон:

Длина стороны AB (параллельной оси X): \( |x_B - x_A| = |3 - (-4)| = |3 + 4| = 7 \) единиц.

Длина стороны BC (параллельной оси Y): \( |y_C - y_B| = |-2 - 5| = |-7| = 7 \) единиц.

В данном случае получается квадрат, что является частным случаем прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен \( P = 2(a+b) \).

\[ P = 2(7 + 7) = 2(14) = 28 \] единиц.

Если предположить, что \( B=(-4, -2) \), тогда:

Длина стороны AB: \( |y_B - y_A| = |-2 - 5| = |-7| = 7 \) единиц.

Длина стороны BC: \( |x_C - x_B| = |3 - (-4)| = |3 + 4| = 7 \) единиц.

Периметр также будет \( 28 \) единиц.

Ответ: Координаты точки B: (3; 5) (или (-4; -2)). Периметр прямоугольника: 28 единиц.