8. Постройте на координатной плоскости а) точки А, В, С, Д, если А(0; 4), В(6; -2), C(7; 3); D(-3; -2). б) Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Решение:

а) Построение точек:

Для построения точек на координатной плоскости, отложим по оси X (абсцисса) первое число, а по оси Y (ордината) — второе число.

• Точка А: (0; 4) — на оси Y.
• Точка В: (6; -2) — 6 единиц вправо по X, 2 единицы вниз по Y.
• Точка С: (7; 3) — 7 единиц вправо по X, 3 единицы вверх по Y.
• Точка D: (-3; -2) — 3 единицы влево по X, 2 единицы вниз по Y.

б) Определение координаты точки пересечения прямых AB и CD.

Чтобы найти точку пересечения, нам нужно найти уравнения прямых AB и CD, а затем решить систему уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид:

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

1. Уравнение прямой AB:

Точки A(0; 4) и B(6; -2).

\[ \frac{x - 0}{6 - 0} = \frac{y - 4}{-2 - 4} \]

\[ \frac{x}{6} = \frac{y - 4}{-6} \]

Умножим обе части на 6:

\[ x = -(y - 4) \]

\[ x = -y + 4 \]

Выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = -x + 4 \]

2. Уравнение прямой CD:

Точки C(7; 3) и D(-3; -2).

\[ \frac{x - 7}{-3 - 7} = \frac{y - 3}{-2 - 3} \]

\[ \frac{x - 7}{-10} = \frac{y - 3}{-5} \]

Умножим обе части на -5:

\[ -5 \cdot \frac{x - 7}{-10} = y - 3 \]

\[ \frac{x - 7}{2} = y - 3 \]

Выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = \frac{x - 7}{2} + 3 \]

\[ y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} + 3 \]

\[ y = \frac{1}{2}x - 3,5 + 3 \]

\[ y = \frac{1}{2}x - 0,5 \]

3. Находим точку пересечения, приравнивая \( y \):

\[ -x + 4 = \frac{1}{2}x - 0,5 \]

Перенесем \( x \) в одну сторону, а числа в другую:

\[ 4 + 0,5 = \frac{1}{2}x + x \]

\[ 4,5 = 1,5x \]

\[ x = \frac{4,5}{1,5} = \frac{45}{15} = 3 \]

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 3 \) в уравнение прямой AB:

\[ y = -3 + 4 = 1 \]

Итак, точка пересечения имеет координаты (3; 1).

Ответ: Координата точки пересечения прямых AB и CD равна (3; 1).