8. Площадь фигуры (интеграл, о)

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми \( y = 9 - x^2 \) и \( y = 0 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых. Приравняем \( y = 9 - x^2 \) к \( y = 0 \):

\[ 9 - x^2 = 0 \]\[ x^2 = 9 \]\[ x = \pm 3 \]

Точки пересечения: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

1. Определить, какая функция находится выше на интервале пересечения. На интервале \( [-3, 3] \), парабола \( y = 9 - x^2 \) открыта вниз и её вершина находится в точке \( (0, 9) \). Прямая \( y = 0 \) — это ось абсцисс. Таким образом, \( y = 9 - x^2 \) находится выше \( y = 0 \) на этом интервале.
2. Вычислить определенный интеграл. Площадь \( S \) фигуры вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \]

В нашем случае \( a = -3 \), \( b = 3 \), \( f(x) = 9 - x^2 \), \( g(x) = 0 \).

\[ S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2 - 0) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} \]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ S = \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} \right) \]\[ S = \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - \left( -27 - \frac{-27}{3} \right) \]\[ S = (27 - 9) - (-27 - (-9)) \]\[ S = 18 - (-27 + 9) \]\[ S = 18 - (-18) \]\[ S = 18 + 18 = 36 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 36.