7. Производная сложной функции

Решение:

Найдем производные для каждой из заданных функций.

1. \( y = \cos (4x - 1) \)

Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Здесь \( f(u) = \cos u \) и \( g(x) = 4x - 1 \).

Производная \( f'(u) = -\sin u \).

Производная \( g'(x) = (4x - 1)' = 4 \).

Следовательно:

\[ y' = -\sin (4x - 1) \cdot 4 = -4 \sin (4x - 1) \]

1. \( y = \sqrt{2x^2 + 1} \)

Запишем функцию в виде \( y = (2x^2 + 1)^{1/2} \).

Используем правило дифференцирования сложной функции:

Здесь \( f(u) = u^{1/2} \) и \( g(x) = 2x^2 + 1 \).

Производная \( f'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \).

Производная \( g'(x) = (2x^2 + 1)' = 4x \).

Следовательно:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot 4x = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} \]

1. \( y = \ln (\sin x) \)

Используем правило дифференцирования сложной функции:

Здесь \( f(u) = \ln u \) и \( g(x) = \sin x \).

Производная \( f'(u) = \frac{1}{u} \).

Производная \( g'(x) = (\sin x)' = \cos x \).

Следовательно:

\[ y' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]

Ответ: 1. \( y' = -4 \sin (4x - 1) \) ; 2. \( y' = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} \) ; 3. \( y' = \cot x \).