8. Найдите значение выражения \(\sqrt[6]{9^4}\)

Решение:

Запишем выражение, используя свойства степеней:

\(\sqrt[6]{9^4} = (9^4)^{\frac{1}{6}}\)

Применим свойство \((a^m)^n = a^{m \times n}\):

\((9^4)^{\frac{1}{6}} = 9^{4 \times \frac{1}{6}} = 9^{\frac{4}{6}} = 9^{\frac{2}{3}}\)

Представим 9 как \(3^2\):

\(9^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{2}{3}} = 3^{2 \times \frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}\)

\(3^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81}\)

Мы можем упростить \(3^{\frac{4}{3}}\) как \(3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3\sqrt[3]{3}\). Однако, если требуется числовое значение, то \(\sqrt[3]{81}\) является ответом.

Если вопрос подразумевает более простое числовое значение, возможно, была ошибка в условии. Перепроверим.

\(\sqrt[6]{9^4} = \sqrt[3 \times 2]{(3^2)^4} = \sqrt[3 \times 2]{3^8} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81}\)

Если бы было \(\sqrt[4]{9^6}\), тогда \((9^6)^{\frac{1}{4}} = 9^{\frac{6}{4}} = 9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27\).

Если было \(\sqrt[6]{9^3}\), тогда \((9^3)^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{3}{6}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\).

Исходя из данного условия, ответ \(\sqrt[3]{81}\) или \(3\sqrt[3]{3}\).

Ответ: \(\sqrt[3]{81}\) или \(3\sqrt[3]{3}\).